2023新教材高中数学第6章计数原理章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第三册

第6章 计数原理 章末综合提升

类型1　组数问题

组数问题是一类典型的排列组合问题，往往涉及排列特殊数，如奇数，被5整除的数等．需要注意以下几个问题：

(1)首位数字不为0．

(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”．

(3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”．

(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．

【例1】　从1到9这9个数字中取3个偶数、4个奇数，问：

(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？

(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

(3)组成的七位数中任意两个偶数都不相邻，共有多少个？

[思路点拨]　―→―→

[解]　(1)分步完成：

第1步：在4个偶数中取3个，可有C种情况；

第2步：在5个奇数中取4个，可有C种情况；

第3步：3个偶数，4个奇数进行排列可有A种情况．

故符合题意的七位数共有CCA＝100 800个．

(2)上述七位数中，将3个偶数排在一起有A种情况；

故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有CCAA＝14 400(个)．

(3)上述七位数中，偶数不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档中，即共有：

CACA＝28 800(个)．

类型2　分组与分配问题

分组与分配问题是排列组合的重要内容，分组是“组合”问题，“分配”是排列问题，在实际应用中往往是分组与分配结合在一起考查，主要考查逻辑思维和数学运算能力，难度为中档，解决此类问题的关键是正确判断是否为平均分组，有序分组，无序平均分组要除以组数的阶乘．

【例2】　某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，这样的安排方法共有(　　)

A．96种 B．100种

C．124种 D．150种

D　[因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，共有两种方法，一种是按照1，1，3来分，另一种是按照2，2，1来分．

当按照1，1，3来分时，不同的安排方法共有

N1＝A＝60(种)；

当按照2，2，1来分时，不同的安排方法共有

N2＝A＝90(种)．

根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N＝N1＋N2＝150(种)．]

类型3　排列与组合的综合应用

排列与组合的综合应用常与实际问题结合考查，主要考查逻辑思维和综合应用能力，试题难度为中等．解决该类问题时要注意以下几点：

(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．

(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．

【例3】　有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？

[解]　分三类：

第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1，2，3，4时，不同的排法有C·C·C·C·A种；

第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1，1，4，4时，不同的排法有C·C·A种；

第三类，  当取出的4张卡片分别标有数字2，2，3，3时，不同的排法有C·C·A种．

故满足题意的所有不同的排法种数为C·C·C·C·A＋2C·C·A＝432种．

类型4　二项式定理的应用

二项式定理是计数原理的重要内容之一，是高考的热点．一般以选择、填空的形式考查，试题难度为易，常从以下几个方面考查：

(1)考查二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk．(可以考查某一项，也可考查某项的系数)．

(2)考查各项系数和，二项式系数和．

(3)考查二项式定理的综合应用，考查对二项式定理的掌握和灵活运用．

【例4】　已知的展开式中的第2项和第3项的系数相等．

(1)求n的值；

(2)求展开式中所有的有理项．

[解]　二项式展开式的通项公式为

Tr＋1＝C·xn－r·＝C·r·x(r＝0，1，2，…，n)．

(1)根据展开式中的第2项和第3项的系数相等，

得C·＝C·，

即n＝×，解得n＝5．

(2)二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝C··x(r＝0，1，2，…，5)．

当r＝0，2，4时，对应项是有理项，

所以展开式中所有的有理项为T1＝C··x5＝x5，T3＝C··x5－3＝x2，

T5＝C··x5－6＝．