2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.1　条件概率与全概率公式

7.1.1　条件概率

知识点1　条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率．

1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为________．

　[由公式得P(B|A)＝＝＝×＝．]

知识点2　条件概率的性质

(1)0≤P(B|A)≤1．

(2)P(Ω|A)＝1．

(3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(4)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．

(5)若事件A，B独立，P(AB)＝P(A)P(B)且P(A)>0，则P(B|A)＝P(B)，反之若P(B|A)＝P(B)且P(A)>0，则A与B相互独立．

2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0． (　　)

(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1． (　　)

(3)P(B|A)与P(A|B)相同．  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

知识点3　乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称此式为概率的乘法公式．

3．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．

0.72　[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．

因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，

且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．]

类型1　求条件概率

角度1　利用定义求条件概率

【例1】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．

(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30．

根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，

所以P(A)＝＝＝．

(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝．

(3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝．

法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，

所以P(B|A)＝＝＝．

利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．

(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

[跟进训练]

1．掷两颗均匀的骰子，问：

(1)至少有一颗是6点的概率是多少？

(2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？

[解]　(1)对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况，它们是等可能的．

设A＝“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况，∴P(A)＝．

(2)由(1)知，共有36种不同情况．又设B＝“两颗骰子点数不同”，则事件AB共包含10种不同情况．

∴P(AB)＝＝，P(B)＝＝．

∴P(A|B)＝＝＝．

角度2　缩小基本事件范围求条件概率

【例2】　集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．

[解]　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝．

利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法

将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB．而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数基于缩小的基本事件的范围．

[跟进训练]

2．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为多少？

[解]　设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)＝＝＝．

类型2　概率乘法公式的应用

【例3】　已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．

(1)先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；

(2)从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率．

[解]　设事件Ai表示第i次摸到的是黑球(i＝1，2，3)，则事件A1A2表示两次摸到的均为黑球．

(1)由题意知P(A1)＝，P(A2|A1)＝．

于是，根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝．

所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球的概率为．

(2)设事件A表示第三次才摸到黑球，则A＝12A3．

由题意知P(1)＝，P(2|1)＝，P(A3|12)＝．

于是，根据乘法公式，有P(12A3)＝P(1)P(2|1)·P(A3|12)＝××＝．

所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为．

应用乘法公式解应用题的一般步骤

(1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0．

(2)根据已知条件表示出各事件的概率．

(3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出所求的概率．

[跟进训练]

3．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB．

由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝．]

类型3　条件概率性质的应用

【例4】　在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次取两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．

[解]　设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝，

P(AB)＝＝，

P(AC)＝，

∴P(B|A)＝＝＝，

P(C|A)＝＝＝，

∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝，

即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为．

1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．

2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．

[跟进训练]

4．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．

[解]　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C．

法一(定义法)：P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝．

所以P(B|A)＝＝÷＝，

P(C|A)＝＝÷＝．

所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝．

所以所求的条件概率为．

法二(直接法)：因为n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，

所以P(B∪C|A)＝．所以所求的条件概率为．

1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于(　　)

A． B．

C． D．

D　[因为P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝．]

2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)

A．0.665 B．0.564

C．0.245 D．0.285

A　[记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，

∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665．]

3．抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则P(B|A)＝(　　)

A． B．

C． D．

C　[事件A为“两个点数不同”的基本事件个数为36－6＝30，

事件B为“两个点数中最大点数为4”的基本事件有(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6个，

即P(B|A)＝＝．]

4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．

0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5．]

5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________．

0.75　[设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下A发生的条件概率．

∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝＝＝0.75．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．计算条件概率的常用方法是什么？

[提示]　(1)定义法：P(B|A)＝．

(2)缩减样本空间法：P(B|A)＝．

2．P(B|A)与P(A|B)意义相同吗？

[提示]　不同．由条件概率的定义知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．

3．在什么条件下，才有P(B|A)＝P(B)?

[提示]　当且仅当事件A与事件B相互独立时，才有P(B|A)＝P(B)．