2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式

知识点1　全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．

全概率公式可借助图形来理解：

*知识点2　贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有

P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n．

设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　)

A．0.8 B．0.5

C．0.67 D．0.875

A　[设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，

所以P(A|C)＝

＝＝0.8．]

类型1　全概率公式及其应用

【例1】　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示．

在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．

[解]　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，

且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%．

因此，由全概率公式有

P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%．

对全概率公式的理解

某一事件A的发生可能有各种的原因，如果A是由原因Bi (i＝1，2，…，n)引起，则A发生的概率是P(ABi)＝P(Bi)P(A |Bi)，每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式． 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关．

[跟进训练]

1．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据：

设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．

[解]　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1，2，3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得

P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)

＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)

＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03＝0.012 5．

因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5．

*类型2　利用贝叶斯公式求概率

【例2】　甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球．采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率．

[解]　设A1＝{摸出的球来自甲盒}，

A2＝{摸出的球来自乙盒}，

A3＝{摸出的球来自丙盒}，

B＝{摸得白球}，

则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，

P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝．

于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为

P(A2|B)＝＝＝．

若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式．(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率． 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．

[跟进训练]

2．某人去某地参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4．如果他乘火车、轮船、汽车去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，求他乘汽车去的概率．

[解]　设A＝“迟到”，

B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”，

B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”，

根据题意，有

P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.1，P(B3)＝0.3，P(B4)＝0.4，

P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，P(A|B4)＝0，

由贝叶斯公式，有P(B3|A)＝

＝＝＝0.5．

1．一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，第二次取到白球的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[设事件A＝{第一次取到白球}，事件B＝{第二次取到白球}，

因为B＝AB∪B且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝．]

2．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　)

A．0.08 B．0.8

C．0.6 D．0.5

C　[因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．]

3．一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一个不放回取出，第三次才取出不合格品的概率为________．

　[记Ai＝“第i次取出的是不合格品”，Bi＝“第i次取出的是合格品”，依题意：P(B1B2A3) ＝ P(B1)·P(B2|B1)P(A3|B1B2)＝××＝．]

4．甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球．则从乙箱中取出白球的概率为________．

　[设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，

P(A)＝，P()＝，P(B|)＝，P(B|A)＝，

利用全概率公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝．]

5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．

0.868　[设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，

Ai＝{提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2}．

由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，

P(B|A2)＝0.88，

由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．你能写出全概率公式吗？

[提示]　全概率公式

P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋…＋P(Bn)P(A|Bn)．

2．什么情况下使用全概率公式？

[提示]　若某一事件的发生可能是由多种情况(原因)引起，那么求此事件的概率，用全概率公式．

3．你能写出贝叶斯公式吗？

[提示]　贝叶斯公式

P(Bi|A)＝，i＝1，2，…，n．