2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.2　离散型随机变量及其分布列

知识点1　随机变量

(1)随机变量的概念

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．

(2)随机变量的特点

①取值依赖于样本点．

②所有可能取值是明确的．

(3)离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称之为离散型随机变量．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　)

(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．               (　　)

(3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

知识点2　概率分布列

(1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

(2)表示

离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示．

(3)性质

①pi≥0，i＝1，2，…，n．

②p1＋p2＋…＋pn＝1．

求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？

[提示]　求离散型随机变量的分布列的步骤：

(1)找出随机变量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；

(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；

(3)列成表格形式．

2．若离散型随机变量X的分布列为

则a＝(　　)

A． B．

C． D．

A　[由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝．]

知识点3　两点分布

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)

A．0 B．

C． D．

C　[设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为

即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，所以P(ξ＝0)＝．故选C．]

类型1　离散型随机变量的判定

【例1】　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．

(1)某座大桥一天经过的车辆数X；

(2)某超市5月份每天的销售额；

(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；

(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ．

[解]　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．

(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．

(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(4)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．

判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法

(1)明确随机试验的所有可能结果．

(2)将随机试验的试验结果数量化．

(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

[跟进训练]

1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．

(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数；

(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．

[解]　(1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量．

(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量．

(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．

类型2　随机变量的可能取值及试验结果

【例2】　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X．

(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X．

[解]　(1)X可取0，1，2，3．X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球．

(2)X可取3，4，5．X＝3表示取出的球编号为1，2，3；

X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4．

X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．

用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点

(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．

(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．

[跟进训练]

2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

(1)在2021年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；

(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．

[解]　(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，

X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．

(2)ξ可能取值为0，1，

当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；

当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．

类型3　分布列及其性质的应用

【例3】　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求：

(1)P(X＝1或X＝2)；

(2)P．

[解]　(1)∵＋＋＋＝1，

∴a＝10，

则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)

＝＋＝．

(2)由a＝10，

得P

＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)

＝＋＋＝．

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．

(2)由于离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

提醒：在利用分布列的性质求参数的值时，注意参数的取值范围．

[跟进训练]

3．设离散型随机变量ξ的分布列P＝ak，k＝1，2，3，4，5．

(1)求常数a的值；

(2)求P；

(3)求P．

[解]　(1)由离散型随机变量分布列的性质，得a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝．

(2)由(1)，得P＝，k＝1，2，3，4，5．

∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝．

(3)∵<ξ<，

∴ξ＝，，，

∴P

＝P＋P＋P

＝＋＋＝．

类型4　离散型随机变量的分布列

【例4】　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．

(1)求X的分布列；

(2)求X的取值不小于4的概率．

[解]　(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，

所以随机变量X的分布列为

(2)X的取值不小于4的概率为

P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝．

[母题探究]

(变条件)本例若改为“X表示取出球的最小号码”，求X的分布列．

[解]　随机变量X的可能取值为1，2，3，4．

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

所以X的分布列为

求离散型随机变量分布列时应注意的问题

(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．

(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．

[跟进训练]

4．某花店每天以8元/枝的价格从鲜花种植基地购进若干枝百合，然后以10元/枝的价格出售．若有剩余，则将剩余的鲜花以4元/枝的价格退回种植基地．为了确定进货数量，该花店统计了近50天的日需求量(单位：枝)，整理得如表：

以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．

(1)求该花店鲜花日需求量n(单位：枝)的分布列；

(2)若该花店一天进货130枝，记花店当天获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列．

[解]　(1)花店鲜花日需求量n(单位：枝)的分布列为：

(2)当日需求量不低于130枝时，花能够全部卖出，

利润为X＝2×130＝260，概率为0.16＋0.14＋0.14＋0.1＝0.54，

当日需求量为120时，剩余10枝没有卖出，利润为X＝2×120－4×10＝200，

当日需求量为110时，剩余20枝没有卖出，利润为X＝2×110－4×20＝140，

当日需求量为100时，剩余30枝没有卖出，利润为X＝2×100－4×30＝80，

所以获得的利润X的分布列为

1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)

A．取到的球的个数

B．取到红球的个数

C．至少取到1个红球

D．至少取到1个红球的概率

B　[A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]

2．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　)

A．一枚是3点，一枚是1点

B．两枚都是2点

C．两枚都是4点

D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

D　[ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．]

3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)

A． B．

C． D．

A　[根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，

故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝．]

4．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________．

　[依题意有P(ξ>8)＝×8＝．]

5．已知离散型随机变量X的分布列为

则m＝________，P(x<3)＝________．

　　[由分布列的性质得＋m＋＝1，m＝，P(x<3)＝P(x＝1)＋P(x＝2)＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．随机变量与函数有什么异同？

[提示]　

2．离散型随机变量有哪些特征？

[提示]　(1)可用数值表示．

(2)试验之前可以判断其出现的所有值．

(3)在试验之前不能确定取何值．

(4)试验结果能一一列出．