2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差

要从甲、乙两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，两名射手在同一条件下射击，所得环数分布列如下：

应该派哪一名同学参赛？选拔的标准是什么？

知识点1　离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根σ(X)为随机变量X的标准差．

(2)意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．

随机变量的方差与样本方差有什么关系？

[提示]　随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值． (　　)

(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (　　)

(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． (　　)

(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

知识点2　离散型随机变量方差的线性运算性质

设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．

结论：D(X)＝(xi－E(X))2pi＝pi－(E(X))2．

2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________．

1　[D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝1．]

3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　)

A．0.25；0.5 B．0.5；0.75

C．0.5；0.25 D．1；0.75

C　[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25．]

类型1　求离散型随机变量的方差、标准差

【例1】　编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．

[思路点拨]　首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．

[解]　ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，

则P(ξ＝0)＝＝；

ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，

则P(ξ＝1)＝＝；

ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，

则P(ξ＝3)＝＝．

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1；

D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．

求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

(1)已知分布列型：直接利用定义求解，具体如下：

①求均值；②求方差．

(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式求解，具体如下：

若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．

(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．

[跟进训练]

1．已知袋中有20个大小相同的球，其中标数字0的有10个，标数字n(n＝1，2，3，4)的有n个．现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球上标的数字，求X的方差、标准差．

[解]　由题意知，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，4，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，

∴X的分布列为

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，∴D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．∴σ(X)＝＝＝．

类型2　随机变量的方差的性质及应用

【例2】　已知X的分布列如下：

(1)求X2的分布列；

(2)计算X的方差；

(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．

[解]　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为

(2)法一(直接法)：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－．

故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝．

法二(公式法)：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝．

(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．

1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．

2．若X服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．

[跟进训练]

2．已知η的分布列为

(1)求η的方差及标准差；

(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．

[解]　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，

∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，

∴σ(η)＝＝8．

(2)∵Y＝2η－E(η)，

∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1 536．

类型3　均值与方差的综合应用

【例3】　某超市准备销售某种食品，厂家提供的返利方案如下：每天卖出30件以内(含30件)的食品，每件食品返利5元，超出30件的部分每件返利8元．该超市经10天试销获得如下销售数据：

28，30，31，29，31，30，29，32，31，31(单位：件)．

(1)从试销的10天中任意抽取两天，求这两天的销售量都小于30的概率；

(2)若将频率视作概率，记厂家的日返利额为X(单位：元)，求随机变量X的分布列、数学期望和方差．

[解]　(1)设事件A为“抽取的两天销售量都小于30”，∵试销的10天中销售量小于30的有3天，

∴P(A)＝＝＝．

(2)设超市的日销售量为a件，则

当a＝28时，X＝28×5＝140；

当a＝29时，X＝29×5＝145；

当a＝30时，X＝30×5＝150；

当a＝31时，X＝30×5＋1×8＝158；

当a＝32时，X＝30×5＋2×8＝166．

∴X的所有可能取值为140，145，150，158，166，

且P(X＝140)＝，

P(X＝145)＝＝，

P(X＝150)＝＝，

P(X＝158)＝＝，

P(X＝166)＝，

∴X的分布列为

∴E(X)＝140×＋145×＋150×＋158×＋166×＝152.8．

∴D(X)＝(140－152.8)2×＋(145－152.8)2×＋(150－152.8)2×＋(158－152.8)2×＋(166－152.8)2×＝58.36．

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤

(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．

(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．

(3)下结论．依据方差的几何意义作出结论．

[跟进训练]

3．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

[解]　(1)由题意得0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1．

因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2．

所以ξ，η的分布列分别为

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；

D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21．

由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．

1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)

A．0.6和0.7 B．1.7和0.09

C．0.3和0.7 D．1.7和0.21

D　[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21．]

2．已知X的分布列为

则D(X)等于(　　)

A．0.7 B．0.61

C．－0.3 D．0

B　[E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，

D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61．]

3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．

乙　[因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量较好．]

4．已知随机变量X的分布列为

若E(X)＝，则D(X)＝________；若Y＝4X－3，则D(Y)＝________．

　　[由＋＋p＝1，得p＝，

又因为E(X)＝0×＋1×＋x＝，

所以x＝2．

D(X)＝×＋×＋×＝．

因为Y＝4X－3，所以D(Y)＝D(4X－3)＝16D(X)＝16×＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．随机变量X的方差和标准差反映了随机变量X的哪些特征？

[提示]　X取值的稳定性和波动，集中与离散程度．

2．D(X)越小，随机变量X的取值怎样？

[提示]　越稳定，波动越小．