2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.4　二项分布与超几何分布7.4.1　二项分布1．通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念．(重点)2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．1．通过理解n重伯努利试验的概念，培养数学抽象素养．2．借助二项分布的有关计算及应用，提升数学运算和逻辑推理素养．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？知识点1　伯努利试验(1)概念：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．(2)我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(3)n重伯努利试验的共同特征①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立．1．n重伯努利试验必须具备哪些条件？[提示]　(1)每次试验是在同样条件下进行的．(2)各次试验中的事件互不影响．(3)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的． (　　)(2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果． (　　)(3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的． (　　)(4)n重伯努利试验中每次试验发生的事件是互斥的． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×知识点2　二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．二项分布与两点分布有什么关系？[提示]　(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　)A． B．C． D．B　[抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为P＝C×＝．] 类型1　n重伯努利试验【例1】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解]　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－＝．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝．[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率．[解]　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝C××＝，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×＝．2．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率．[解]　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C＝，P(B4)＝C＝，所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝×＝．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式计算．[跟进训练]1．操场上有5名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立．(1)求其中恰好有4名同学投中的概率；(2)求其中至少有4名同学投中的概率．[解]　(1)∵每位同学投中篮筐的概率都是，且各次投篮是否投中相互独立，∴其中恰好有4名同学投中的概率P＝C＝．(2)其中至少有4名同学投中的概率P＝C＋C＝． 类型2　二项分布【例2】　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．[解]　(1)由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B，即P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝．所以X的分布列为X0123P(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率P＝C××＝．1当X服从二项分布时，应弄清X～Bn，p中的试验次数n与成功概率p．2解决二项分布问题的两个关注点：①对于公式PX＝k＝，必须在满足“伯努利试验”时才能应用，否则不能应用该公式．,②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．[跟进训练]2．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是互相独立的，并且概率都是．(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[解]　(1)根据题意得，ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，…，5．ξ的分布列为ξ012345P(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝·，k＝0，1，2，3，4．P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝．故η的分布列为η012345P 类型3　二项分布的均值与方差【例3】　某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，求X的数学期望E(X)及方差D(X)．[解]　法一(定义法)：由题意知X的可能取值分别为0，1，2，3，4，X～B．X＝0表示这4个数字都是0，则P(X＝0)＝＝；X＝1表示这4个数字中有一个为1，则P(X＝1)＝C··＝；同理P(X＝2)＝C··＝；P(X＝3)＝C··＝；P(X＝4)＝＝．所以X的分布列如下：X01234P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＝．法二(结论法)：随机变量X的值是出现1的个数，由题意，X～B，所以E(X)＝4×＝．D(X)＝4××＝．用二项分布求解实际应用题的步骤(1)判断随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)．(2)根据二项分布公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，…，n)求出分布列．(3)求二项分布X～B(n，p)的均值可用公式E(X)＝np求解，求方差可用公式D(X)＝np(1－p)来求解．[跟进训练]3．某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列、均值及方差；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．[解]　(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B．∴P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝C＝，其分布列为X01234P∵X～B，∴E(X)＝4×＝2．D(X)＝4××＝1．(2)由题意可得Y＝2 300－100X，∴E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100．即所求变量Y的数学期望为2 100元．1．(多选题)下列随机变量X服从二项分布的有(　　)A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数ACD　[A中试验出现的结果只有两种，点数为6和点数不为6，且每次试验中概率都为(出现6点)，符合二项分布．B中X的取值不确定，不是二项分布．C中，进行五局比赛相当于做了5次伯努利试验，X服从二项分布，D中被感染的次数X～B(n，0.3)．]2．(多选题)若X～B，则P(X＝4)等于(　　)A．C B．CC． D．CAB　[X服从二项分布，所以P(X＝4)＝C·或C．]3．将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为(　　)A． B．C． D．C　[根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况：①正面出现3次，反面出现2次，其概率为C·＝C＝10，②正面出现4次，反面出现1次，其概率为C·＝C＝5，③正面出现5次，其概率为C＝，共有三种情况，这三种情况是互斥的，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是10＋5＋＝．]4．若随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于________．0.4　[由X～B(40，p)，知E(X)＝40p＝16，故p＝0.4．]5．设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5)，则D(3ξ)等于________．10　[由题意知ξ～B，所以D(ξ)＝5×＝，D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×＝10．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．n重伯努利试验中，X的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k中各量表示的含义是什么？[提示]　k表示事件A发生的次数，n表示试验总次数，p表示事件A发生的概率，(1－p)表示事件发生的概率．2．同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验，重复意味着什么？[提示]　重复意味着试验成功的概率相同．3．判断二项分布的关键点是什么？[提示]　(1)对立性．在一次试验中，事件A发生与否必居其一．(2)重复性．试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率为同一常数．(3)X的取值从0到n，中间不间断．