2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.4.2　超几何分布

知识点1　超几何分布

定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．

其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，X服从超几何分布吗？

[提示]　服从．

1．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．

　[P(X＝3)＝＝．]

知识点2　服从超几何分布的随机变量的均值

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np．

2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则E(X)＝________．

　[E(X)＝4×＝．]

类型1　超几何分布的概率

【例1】　10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率．

(1)至少有1件次品；

(2)至多有1件次品．

[解]　法一：(1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”．

“2件都是正品”的概率为＝．

所以“至少有1件次品”的概率为1－＝．

(2)“至多有1件次品”的对立事件是“2件都是次品”，“两件都是次品”的概率为＝．

所以“至多有1件次品”的概率为1－＝．

法二：(1)记“至少有1件次品”为事件A，“1件次品1件正品”为事件B，“2件次品”为事件C，则A＝B＋C(B与C互斥)，

P(B)＝＝，P(C)＝＝，

∴P(A)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝．

(2)记“至多有1件次品”为事件A1，“1件次品1件正品”为事件A2，“两件正品”为事件A3，则A1＝A2＋A3(A2与A3互斥)，

P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，

∴P(A1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝．

超几何分布的概率

(1)超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆．

(2)超几何分布是随机变量的另一种分布形式．在这里，要特别注意公式中的各个字母的取值范围及其含义，超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与试验总次数的比值．

[跟进训练]

1．袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，记红球数为X，求至少有一个红球的概率．

[解]　由题意知X服从超几何分布，且X＝0，1，2，3，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．

∴至少有一个红球的概率P＝＋＋＝．

类型2　超几何分布的分布列、均值

【例2】　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；

(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．

①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列和均值．

[解]　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．

P(X＝1)＝＝＝，

则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝．

因此X的分布列为

(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．

故所求概率P＝＝＝．

②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且

P(Y＝0)＝＝＝，

P(Y＝10)＝＝＝，

P(Y＝20)＝＝＝，

P(Y＝50)＝＝＝，

P(Y＝60)＝＝＝．

因此随机变量Y的分布列为

E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16．

解决超几何分布问题的两个关键点

(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．

(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．

[跟进训练]

2．一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．

(1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率；

(2)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．

[解]　(1)P＝＝．

(2)X可能取0，1，2，

P(X＝0)＝＝；

P(X＝1)＝＝；

P(X＝2)＝＝．

∴X的分布列为

E(X)＝＋＝．

类型3　超几何分布的综合应用

【例3】　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类可助力将不易降解的物质分出来，减轻对土地的严重侵蚀，减少土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%．

现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：

(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；

(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．

[解]　(1)记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A．

由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P(A)＝．

(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区，

X的所有可能取值为0，1，2．

P(X＝0)＝＝；

P(X＝1)＝＝＝；

P(X＝2)＝＝．

所以X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝．

超几何分布的应用

(1)超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等．

(2)这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等．

(3)在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值．

(4)注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序．如产品问题中，H(n，M，N)的意义是“超几何分布(取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”．

[跟进训练]

3．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球，从这10个球中任取3个．求：

(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；

(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．

[解]　(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，

因此P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，

所以P(X＝0)＝＝＝，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝．

所以X的分布列为

(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，

而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，

P(A3)＝P(X＝3)＝，

所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．

所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．

1．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于(　　)

A． B．

C． D．

C　[由题意可知X，Y服从超几何分布，P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝．故选C．]

2．一个袋子中装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为(　　)

A． B．

C． D．

A　[随机变量X服从N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，所以P(X＝3)＝＝．]

3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)

A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)

C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)

C　[A项，P(ξ＝2)＝；

B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；

C项，P(ξ＝4)＝；

D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>．]

4．从装有3个红球和2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则P(ξ≤1)＝________．

　[P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝．]

回顾本节知识，自主完成以下问题：

1．在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有何特点？

[提示]　抽样方法为不放回抽样．

2．超几何分布的均值公式：E(X)＝np，与二项分布的均值公式一样吗？

[提示]　不一样．在二项分布中n为伯努利试验重复的次数，p为成功概率；在超几何分布中，n是抽取的产品件数，p是N件产品的次品率．