2023新教材高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

8.2　一元线性回归模型及其应用1．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理．掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．2．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．3．了解随机误差、残差、残差图的概念． 1．通过对散点图、线性回归的分析，培养数据分析素养．2．借助回归模型的建立，培养数学建模、数据分析及数学运算素养．某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据：第x年1234567污染指数y6.15.24.54.73.83.43.1作出这些成对数据的散点图，判断污染指数y与x是否线性相关？在知道y与x线性相关的前提下，你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，你能估计出该地区第8年的污染指数吗？知识点1　一元线性回归模型为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量．a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数．e是Y与bx＋a之间的随机误差．1．下列说法不正确的是(　　)A．在回归模型中，变量间的关系是非确定性关系，因变量不能由自变量唯一确定B．在函数模型中，变量间的关系是确定性关系，因变量由自变量唯一确定C．在回归模型中，变量x和y都是普通变量D．在回归模型中，回归系数可能是正的也可能是负的C　[在回归模型中，x是解释变量，y是响应变量，当解释变量取值一定时，响应变量的取值带有一定的随机性．]知识点2　经验回归方程＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．＝＝，＝－．2．已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(单位：年)与维护费用y(单位：千元)之间有如下数据：使用年限x/年24568维护费用y/千元34.56.57.59x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为＝1.05x＋．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为(　　)附：经验回归方程＝x＋中的系数＝，＝－．A．4千元 B．5千元C．8.2千元 D．8.3千元C　[由题意，＝＝5，＝＝6.1，因为经验回归直线经过样本点中心，所以6.1＝1.05×5＋，解得＝0.85，＝1.05x＋0.85．当使用年限为7年时，维护费用约为1.05×7＋0.85＝8.2(千元)．]知识点3　残差与残差平方和及R2(1)残差对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值．通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等．(2)残差平方和及R2①残差平方和为(yi－i)2．②R2＝1－．R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差．3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)A．模型1的决定系数R2为0.98B．模型2的决定系数R2为0.80C．模型3的决定系数R2为0.50D．模型4的决定系数R2为0.25A　[R2越大拟合效果越好．] 类型1　求经验回归方程【例1】　随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如下表所示：x/件24568y/次3040506070(1)根据表中数据画出散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程；(3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少．[解]　(1)散点图如图所示．(2)根据散点图，可得变量x与y之间具有线性相关关系．根据数据，可知＝5，＝50，iyi＝1 390，＝145，代入公式得＝＝＝7，＝－＝50－7×5＝15．故所求的经验回归方程是＝7x＋15．(3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破100件(含 100件)，即x＝≥100时，≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次．求经验回归方程的基本步骤(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．(2)计算：，，，iyi．(3)代入公式求出＝x＋中参数，的值．(4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计．提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义．[跟进训练]1．“足球进校园”一直是热议话题．为了解某区域足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：年份x/年20162017201820192020足球特色学校y/百个1.001.401.701.902.00(1)根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱；(2)求y关于x的经验回归方程，并预测该区域2022年足球特色学校的个数(精确到个)．注：当|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关性较弱；当0.25＜|r|＜0.75，则认为y与x的线性相关性一般；当0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关性很强．附：经验回归方程＝x＋，其中＝＝，＝－．相关系数r＝＝．参考数据：≈2.569 0，≈3.162 3．[解]　(1)由题中的数据可得，＝2018，＝1.6，(xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，(yi－)2＝0.36＋0.04＋0.01＋0.09＋0.16＝0.66，(xi－)(yi－)＝2×0.6＋1×0.20＋1×0.3＋2×0.4＝2.5，所以r＝＝≈≈0.973>0.75，所以y与x的线性相关性很强．(2)＝＝＝0.25，所以＝－＝1.6－0.25×2018＝－502.9，所以y与x的经验回归方程为＝0.25x－502.9．当x＝2 022时，y＝0.25×2 022－502.9＝2.6(百个)，所以该区域2022年足球特色学校的个数为260个． 类型2　线性回归分析【例2】　已知某种商品的单价x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x/元1416182022y/件1210753求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．[解]　由题意可得＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以＝＝＝－1.15，＝－＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1．列出残差表：y1210753129.77.45.12.8y－00.3－0.4－0.10.2所以(yi－i)2＝0.3，又(yi－)2＝53.2，所以R2＝1－≈0.994．故回归模型的拟合效果很好．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量．(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选经验回归方程)．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后需进行线性回归分析．①残差平方和越小，模型的拟合效果越好．②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好．需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可．[跟进训练]2．某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系．现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表：时间车流量x/万辆PM10浓度y/(μ g/m3)星期一25.435.7星期二24.634.5星期三23.535.2星期四24.433.6星期五25.836.1星期六19.730.9星期日20.329.4(1)在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；(2)根据表中的统计数据，求出经验回归方程＝x＋(精确到0.01)；(3)为净化空气，该地决定在工作日(星期一至星期五)限号．假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日车流量的．试预测开始限号第一周星期三的PM10浓度(精确到0.1)．参考数据：≈23.4，≈33.6，(xi－)(yi－)＝34.5，－72＝35.5．参考如下公式：＝＝，＝－b．[解]　(1)如图所示．(2)＝＝≈0.97，＝－＝33.6－0.97×23.4≈10.90．所以y关于x的经验回归方程为＝0.97x＋10.90．(3)开始限号第一周星期三的车流量预计为23.5×＝18.8(万辆)．PM10浓度预测值＝0.97×18.8＋10.90≈29.1(μg/m3)． 类型3　非线性回归分析【例3】　为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190(1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：＝＋x与y＝c1ec2x哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由)(xi－)2(xi－)·(yi－)(xi－)·(zi－)3.562.833.5317.5596.50512.04其中zi＝ln yi，＝i．(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程．参考公式：＝，＝－．[解]　(1)作出散点图，如图①所示．图①　　　　　　　　图②由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y＝c1ec2x的周围，于是选择y＝c1ec2x．(2)令z＝ln y，则＝x＋．x123456z1.792.483.223.894.555.25相应的散点图如图②．从图②可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．由＝≈0.69，＝－＝1.115，得＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115．[母题探究](变设问)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数．[解]　∵＝e0.69x＋1.115，∴当x＝7时，≈382(个)，即第7天细菌繁殖个数约为382个．解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y．(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型．(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数等来判断拟合效果．(5)写出非线性经验回归方程．[跟进训练]3．下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)通过x与y的关系，建立回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值．[解]　(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，数形结合可猜测样本点分布在某一指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数，即x与y之间的关系为y＝c1ec2x．(2)对(1)中猜测结果两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得经验回归方程为＝0.272x－3.849，∴＝e0.272x－3.849．残差列表：yi711212466115325i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.230－13.38134.675(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131．1．已知x与y之间的一组数据：x01234y13579则y与x的经验回归方程＝x＋必过点(　　)A．(1，2) B．(5，2)C．(2，5) D．(2.5，5)C　[经验回归方程一定过样本点中心(，)．由＝＝2，＝＝5．故必过点(2，5)．]2．已知x，y的取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3由所给数据在散点图上的位置分析可知y与x线性相关，且经验回归方程为＝0.95x＋，则＝(　　)A．1.45 B．1.55C．1.65 D．1.80A　[由题意，得＝＝4，＝＝5.25．∵y与x线性相关，且＝0.95x＋，∴5.25＝0.95×4＋，解得＝1.45．]3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．85%　15%　[由题意知气温解释了85%的热茶销售杯数变化，随机误差贡献了剩余的15%．]4．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：＝0.254x＋0.321．由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．0.254　[由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．]5．已知经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2，4.9)，(3，7.1)，(4，9.1)，求残差平方和．[解]　当x＝2时，＝5，当x＝3时，＝7，当x＝4时，＝9．∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，3＝9.1－9＝0.1．∴＝(－0.1)2＋0.12＋0.12＝0.03．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．经验回归直线方程一定过哪个点？[提示]　经验回归直线方程一定过样本点中心(，)．2．y与x正、负相关的充要条件各是什么？[提示]　y与x正相关的充要条件是＞0，y与x负相关的充要条件是＜0．3．的实际意义是什么？[提示]　当x增大一个单位时，增大个单位．