新教材2023版高中数学第一章三角函数2任意角学案北师大版必修第二册

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§2　任意角最新课标了解任意角的概念2.1　角的概念推广2．2　象限角及其表示[教材要点]要点一　角的概念推广1．角的概念：平面内一条________线绕着它的端点旋转到终止位置，形成角．2．角的分类：按________方向旋转形成的角叫正角，按______方向旋转形成的角叫负角．如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角．eq \x(状元随笔)　(1)表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常被忽视；(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．要点二　象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与________重合，角的始边与x轴的________重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角________任何一个象限．要点三　终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝____________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．eq \x(状元随笔)　(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．[教材答疑][教材P7思考交流]当角α为锐角，则角α＋180°的终边与α的终边关于原点对称，见图1；角α－180°的终边与α的终边关于原点对称，见图2；角180°－α的终边与α的终边关于y轴对称，见图3.当角α是任意角，它们的关系同上．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)第一象限的角一定是锐角．(　　)(2)终边相同的角一定相等．(　　)(3)小于90°的角一定是锐角．(　　)(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　)2．手表时针走1小时转过的角度是(　　)A．60° B．－60°C．30° D．－30°3．与53°角终边相同的角是(　　)A．127° B．233°C．－307° D．－127°4．2 019°是第________象限角．题型一　任意角的概念及应用——自主完成1．[多选题]下列说法不正确的是(　　)A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．终边相同的角相等2．将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　)A．10° B．15°C．30° D．－30°3．在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．题型二　终边相同的角——师生共研例1　写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．eq \x(状元随笔)　根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360 °＋α，k∈Z}，写出与75 °角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360 °～1 080 °范围内的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练1　写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．(1)60°；(2)－210°；(3)364°13′.题型三　象限角与区域角的表示——微点探究微点1　象限角的判定例2　[多选题]若α是第二象限角，则eq \f(α,2)所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限eq \x(状元随笔)　除了运用分类讨论思想解决此类问题外，还可以用下图来求解．微点2　区域角的表示例3　写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．方法归纳区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，并将该范围内的区域角表示为{x|α120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．答案：①②④题型二例1　解析：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1 080°，即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得eq \f(19,24)≤k<2eq \f(19,24).又k∈Z，所以k＝1或k＝2.当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1 080°范围内的角为435°角和795°角．跟踪训练1　解析：(1)∵S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.(2)∵S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.(3)∵S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.题型三例2　解析：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<eq \f(α,2)<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<eq \f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)；当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<eq \f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)．∴eq \f(α,2)的终边位于第一或第三象限．故选AC.答案：AC例3　解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．跟踪训练2　解析：(1)∵k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，∴k·180°<eq \f(α,2)<45°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，n·360°<eq \f(α,2)<45°＋n·360°，n∈Z，∴eq \f(α,2)是第一象限角．当k＝2n＋1，n∈Z时，180°＋n·360°<eq \f(α,2)<45°＋180°＋n·360°(n∈Z)，∴eq \f(α,2)在第三象限．故选AC(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．答案：(1)AC　(2)见解析易错原因纠错心得对终边相同的角理解不透彻，导致在由S＝S1∪S2运算中出错．错答为：{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}准确理解终边相同角(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.