数学北师大版 (2019)7.2 正切函数的诱导公式学案

这是一份数学北师大版 (2019)7.2 正切函数的诱导公式学案，共6页。

理解正切函数的定义，能画出它的图象，理解正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质.
7.1 正切函数的定义
7．2 正切函数的诱导公式
[教材要点]
要点一 正切函数的定义
根据函数的定义，比值________是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝________，其中定义域________________．
要点二 正切函数的诱导公式
tan(kπ＋α)＝________(k∈Z)
tan(－α)＝________
tan(π＋α)＝________
tan(π－α)＝________
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝________
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________.
eq \x(状元随笔) (1)正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”．
(2)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为锐角再求值”，即由未知转化为已知的化归思想．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数y＝tan x对任意x∈R都成立．( )
(2)tan(kπ＋α)＝tan α当且仅当k＝2n(n∈Z)时成立．( )
2．tan 660°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
3．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan α B．tan(π－α)＝tan α
C．tan(－α)＝－tan α D．tan(2π－α)＝tan α
4．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域是________________________________________________________________________．
题型一 求函数的定义域——师生共研
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x)的定义域为( )
A．{x|x≠0} B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))
(2)函数y＝lg(eq \r(3)－tan x)的定义域为________________________________________________________________________．
方法归纳
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
跟踪训练1 函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)－\f(3π,8)，k∈Z))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))
题型二 利用正切函数诱导公式求值——微点探究
微点1 给角求值
例2 计算：
(1)sin 1 590°·cs(－1 830°)＋tan 1 395°·tan(－1 200°)；
(2)eq \f(tan 330°＋tan 585°,tan－45°－tan 660°).
方法归纳
给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角，通常是特殊角的三角函数值．
微点2 给值求值
(2)中应注意eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝π.
例3 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝eq \f(\r(3),2)，且|φ|则tan φ＝________；
(2)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))
＝________.
方法归纳
给值求值时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值．
跟踪训练2 (1)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(4π,3)))＝－5，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))等于( )
A．5 B．－5
C．25 D．与α的值有关
(2)求值：eq \f(tan 225°＋tan 750°,tan－30°－tan－45°).
题型三 利用正切函数的诱导公式化简——师生共研
例4 化简：eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α).
方法归纳
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则：
(1)“切化弦”，函数名称尽可能化少．
(2)“大化小”，角尽可能化小．
跟踪训练3 化简：eq \f(sinπ＋x·csπ－x·tan－x,sin5π－x·tan8π－x·csx－3π.)
易错辨析 误认为正切函数在整个定义域上都是增函数致错
例5 函数y＝eq \r(3tan x＋\r(3))的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需3tan x＋eq \r(3)≥0，
即tan x≥－eq \f(\r(3),3)，
∴－eq \f(π,6)＋kπ≤x∴原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋kπ≤x<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
易错警示
§7 正切函数
7．1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
eq \f(sin x,cs x) tan x eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
要点二
tan α －tan α tan α －tan α －eq \f(1,tan α) eq \f(1,tan α)
[基础自测]
1．(1)× (2)×
2．解析：tan 660°＝tan(180°×3＋120°)＝tan 120°＝－tan 60°＝－eq \r(3).
答案：C
3．解析：tan(π＋α)＝tan α；tan(π－α)＝－tan α；tan(－α)＝－tan α；tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α.故选C.
答案：C
4．解析：由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)函数y＝eq \f(1,tan x)有意义时，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x))≠kπ＋\f(π,2)，且x≠kπ，k∈Z))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1())xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).
(2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)－tan x>0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))解得kπ－eq \f(π,2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)答案：(1)D (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)跟踪训练1 解析：要使函数有意义，则2x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)，k∈Z，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z)))).
答案：C
题型二
例2 解析：(1)原式＝sin(4×360°＋90°＋60°)·cs(5×360°＋30°)－tan(4×360°－45°)·tan(3×360°＋180°－60°)＝cs 60°·cs 30°＋tan 45°·(－tan 60°)＝eq \f(\r(3),4)－eq \r(3)＝－eq \f(3\r(3),4).
(2)原式＝eq \f(tan360°－30°＋tan3×180°＋45°,－tan 45°－tan4×180°－60°)＝
eq \f(tan－30°＋tan 45°,－1－tan－60°)＝eq \f(－tan 30°＋tan 45°,－1＋tan 60°)＝eq \f(－\f(\r(3),3)＋1,－1＋\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
例3 解析：(1)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝－sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
所以sin φ＝－eq \f(\r(3),2).
因为|φ|所以tan φ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3).
(2)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
答案：(1)－eq \r(3) (2)－eq \f(\r(3),3)
跟踪训练2 解析：(1)因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(4π,3)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＝－5，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＝5，
即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)＋π))＝5，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝5.
(2)∵tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1，
tan(－30°)＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3)，
tan 750°＝tan(720°＋30°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
tan(－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴原式＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),－\f(\r(3),3)＋1)＝2＋eq \r(3).
答案：(1)A (2)见解析
题型三
例4 解析：原式＝eq \f(\f(sin2π－α,cs2π－α)·sin－α·cs－α,csπ－αsinπ－α)＝
eq \f(－sin α·－sin α·cs α,cs α·－cs α·sin α)＝eq \f(－sin α,cs α)＝－tan α.
跟踪训练3 解析：原式＝eq \f(－sin x·－cs x·－tan x,sin x·－tan x·－cs x)＝－1.
易错原因
纠错心得
在解不等式tan x≥－eq \f(\r(3),3)，误认为在整个定义域上都是增函数而致错，得到错误答案为：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－\f(π,6)＋kπ，k∈Z))))
在应用函数的单调性解题时，要弄清是在整个定义域上是单调的，还是在每个区间上是单调的，否则会出现错误.