北师大版 (2019)必修 第二册7.3 正切函数的图象与性质导学案

7.3　正切函数的图象与性质

[教材要点]

要点　函数y＝tan x的图象与性质

　如何作正切函数的图象

(1)几何法

就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．

(2)“三点两线”法

“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、右平移(每次平移π个单位长度)即可得到正切曲线．

[教材答疑]

1．[教材P61思考交流]

函数y＝tan(x＋)的图象如图：

周期：T＝π

定义域为：{x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}

单调增区间是，k∈Z.

2．[教材P62思考交流]

函数y＝tan ωx(ω>0)的周期为T＝.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)

(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)

(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)

(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan x．(　　)

2．已知函数f(x)＝tan，则函数f(x)的最小正周期为(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

3．函数y＝tan x的值域是(　　)

A．[－1,1]  B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

C．(－∞，1]  D．[－1，＋∞)

4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)

题型一　正切函数的图象及应用——自主完成

1．函数y＝tan在一个周期内的图象是(　　)

2．不等式tan x≥－1的解集为________．

3．函数y＝tan x的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积是________．

方法归纳

解决与正切函数图象有关的问题，必须熟练画出正切函数y＝tan x，x∈的图象，求自变量x的范围时，要注意是否包含端点值，切记正切函数的最小正周期为π.

题型二　正切函数的单调性问题——微点探究

微点1　求函数的单调区间

例1　求函数y＝tan的单调区间．

方法归纳

求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)

的单调区间的方法

①若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

微点2　比较大小

例2　比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．

方法归纳

运用正切函数单调性比较大小的方法

①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

②运用单调性比较大小关系．

跟踪训练1　(1)已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．b<c<a  D．b<a<c

(2)函数y＝tan的单调区间为________．

题型三　正切函数图象与性质的综合应用——师生共研

例3　已知函数f(x)＝2tan.

(1)求f(x)的最小正周期、定义域；

(2)若f(x)≥2，求x的取值范围．

方法归纳

解答正切函数图象与性质问题时应注意的两点

(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．

跟踪训练2　设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

7．3　正切函数的图象与性质

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点

　R　π　奇函数　

，k∈Z

[基础自测]

1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：解法一　函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.

解法二　由诱导公式可得tan

＝tan＝tan，

所以f＝f(x)，所以周期为T＝.

答案：B

3．解析：函数y＝tan x在上是增加的，且tan＝－1，tan＝1，故选A.

答案：A

4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.

答案：＜

题型探究·课堂解透

题型一

1．解析：当x＝时，tan＝0，故排除C，D；当x＝时，tan＝tan，无意义，故排除B.故选A.

答案：A

2．解析：作出y＝tan x一个周期的图象，如图所示，

令y＝－1，得x＝－，所以在中满足不等式tan x≥－1的x的取值范围为.

由正切函数的周期性可知，原不等式的解集为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

3．解析：由题意，画出图象如图所示，

根据正切函数图象的对称性可知，y＝tan x的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积，为4π.

答案：4π

题型二

例1　解析：y＝tan＝－tan.

由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋<x<＋(k∈Z)．

所以函数y＝tan的单调递减区间为(k∈Z)．

例2　解析：tan 2.5＝tan(2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－<2.5－π<3.5－π<1.5<，y＝tan x在上是增函数．故tan(2.5－π)<tan(3.5－π)<tan 1.5，即tan 2.5<tan 3.5<tan 1.5.

跟踪训练1　解析：(1)a＝tan 1>0，b＝tan 2＝－tan(π－2)<0，c＝tan 3＝－tan(π－3)<0，∵>π－2>π－3>0，且y＝tan x在上单调递增，∴tan(π－2)>tan(π－3)>0，∴－tan(π－2)<

－tan(π－3)<0，故a>0>c>b.

答案：(1)C　

解析：(2)y＝tan＝－tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan的递减区间是，k∈Z.

答案： (2)，k∈Z

题型三

例3　解析：(1)对于函数f(x)＝2tan，它的最小正周期为＝2π，由－≠kπ＋，求得x≠2kπ＋，故它的定义域为.

(2)f(x)≥2，即tan≥1，故＋kπ≤－<kπ＋，求得2kπ＋≤x<2kπ＋，故x的取值范围为，k∈Z.

跟踪训练2　解析：(1)由－≠＋kπ(k∈Z)．得x≠＋2kπ(k∈Z)．

所以f(x)的定义域是.

因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.

由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.

(2)由－1≤tan≤，

得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f(x)≤的解集是.