高中数学8 三角函数的简单应用学案

这是一份高中数学8 三角函数的简单应用学案，共8页。

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
[教材要点]
要点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义
要点二 三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是________________，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
要点三 三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“________”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
eq \x(状元随笔) 解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( )
(2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”来获得相应的函数模型．( )
(3)函数y＝|cs x|的图象是以2π为周期的波浪形曲线．( )
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,3))).
则在时间t＝eq \f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
4．简谐振动y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))的频率和相位分别是________．
题型一 三角函数模型在物理中的应用——师生共研
例1 已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))中t在任意一段eq \f(1,100)秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
方法归纳
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))，其图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是多少？
题型二 建立三角函数模型——师生共研
例2 某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋5(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋5(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋5(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋5(1≤x≤12，x∈N*)
方法归纳
整理数据，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型．
跟踪训练2 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P(x，y)．若初始位置为P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t－\f(π,3)))
题型三 利用数据建立拟合函数模型——师生共研
例3 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据．
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
eq \x(状元随笔) 由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.
方法归纳
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
§8 三角函数的简单应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
A eq \f(2π,ω) eq \f(ω,2π) ωx＋φ φ
要点二
建立数学模型
要点三
散点图
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：由2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(t,2)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.
答案：C
3．解析：当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
答案：C
4．解析：简谐振动y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))的周期是T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2)，相位是4x＋eq \f(π,6)，频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(2,π).
答案：eq \f(2,π)，4x＋eq \f(π,6)
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由题意知，A＝300.
T＝eq \f(1,60)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝100π.
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))是该函数图象的第一个零点，∴－eq \f(φ,ω)＝－eq \f(1,300).
∴φ＝eq \f(ω,300)＝eq \f(π,3)，符合|φ|∴I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))(t≥0)．
(2)问题等价于T≤eq \f(1,100)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,100)，
∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.
跟踪训练1 解析：∵该简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))，∴最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,4))＝8.
又函数的图象过点(0,1)，
∴将点(0,1)代入函数解析式，得2sin φ＝1，即sin φ＝eq \f(1,2).
又|φ|题型二
例2 解析：根据题意，得T＝2×(7－3)＝8，则ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＝7，,－A＋B＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝5.))∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))＋5.当x＝3时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)×3＋φ))＋5＝7，得φ＝－eq \f(π,4)，∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋5(1≤x≤12，x∈N*)．
答案：D
跟踪训练2 解析：设y＝sin(ωt＋φ)，由题意可得，sin φ＝eq \f(1,2)，∴函数的初相是φ＝eq \f(π,6)，排除B、D.又∵函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，∴T＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2π,ω)))＝60，ω<0，解得|ω|＝eq \f(π,30)，∴ω＝－eq \f(π,30)，故选C项．
答案：C
题型三
例3 解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝3sineq \f(π,6)t＋10.(0≤t≤24)
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sineq \f(π,6)t＋10≥11.5，∴sineq \f(π,6)t≥eq \f(1,2).①
∵0≤t≤24，∴0≤eq \f(π,6)t≤4π.②
由①②得eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(5π,6)或eq \f(13π,6)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(17π,6).化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
跟踪训练3 解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝eq \f(π,6).又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A＝eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，
所以y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1>1，cseq \f(π,6)t>0,2kπ－eq \f(π,2)又0≤t≤24.所以0≤t<3或9t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5