北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换3 二倍角的三角函数公式3.1 二倍角公式学案

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(1)能从两角差与和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(2)能运用二倍角公式进行简单的恒等变换．
(3)能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
3.1 二倍角公式
[教材要点]
要点一 二倍角公式
eq \x(状元随笔) 细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
要点二 二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2α；
1－cs 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意的α角，都有cs 2α＝cs2α－sin2α.( )
(2)对任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )
(3)对于任意的角α，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).( )
(4)对于任意的角α，sin 4α＝2sin 2αcs 2α.( )
2.eq \f(1,2) sin 15°cs 15°的值等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,2)
3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
4．已知α为第三象限角，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan 2α＝________.
题型一 给角求值——自主完成
求下列各式的值：
(1)cseq \f(π,12)cseq \f(5π,12)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)－sin\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,12)＋sin\f(π,12)))；
(3)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)；
(4)eq \f(1－tan2\f(π,12),tan\f(π,12))；
(5)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
eq \x(状元随笔) 灵活运用二倍角公式及其逆用；
第(5)题体现了对二倍角的巧用，具体计算时要注意“2”的方幂，不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n －1αcs 2n －1α⇒cs αcs 2αcs 22α…cs 2n －1α＝eq \f(sin 2nα,2nsin α).
题型二 给值求值——师生共研
例1 (1)已知α是第三象限角，cs α＝－eq \f(5,13)，则sin 2α等于( )
A．－eq \f(12,13) B.eq \f(12,13)
C．－eq \f(120,169) D.eq \f(120,169)
(2)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则tan 2α＝( )
A．－eq \f(24,7) B.eq \f(3,2)
C．－eq \f(3,2) D.eq \f(24,7)
(3)已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
②cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))＝( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(5,9)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0sin θ，
∴eq \r(1＋sin 2θ)＋eq \r(1－sin 2θ)
＝eq \r(sin2θ＋cs2θ＋2sin θcs θ)＋eq \r(sin2θ＋cs2θ－2sin θcs θ)
＝eq \r(sin θ＋cs θ2)＋eq \r(sin θ－cs θ2)
＝|sin θ＋cs θ|＋|sin θ－cs θ|
＝－(cs θ＋sin θ)＋cs θ－sin θ
＝－2sin θ.
(2)证明：左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cs 2Acs 2B＝右边，所以等式成立．
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练2 解析：(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，∴cs α>0，eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，
∴cseq \f(α,2)