高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数1 复数的概念及其几何意义1.2 复数的几何意义学案设计

1.2　复数的几何意义

[教材要点]

要点一　复平面的定义

建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面．x轴称为________，y轴称为________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．

　复平面上的点的坐标与复数的关系

(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．

(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.

要点二　复数的几何意义

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点________；

2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量____________．

要点三　复数的模

复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝________.

　巧用复数的几何意义解题

(1)复平面内|z |的意义

我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a |是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，|z |是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z |＝||.

(2)复平面内任意两点间的距离

设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，则|PQ|＝|z2－z1|.

运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．

要点四　共轭复数的概念

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为________，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝________，虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)原点是实轴和虚轴的交点．(　　)

(2)实轴和虚轴的单位都是1.(　　)

(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　)

(4)复数与复平面内的无数多个向量对应．(　　)

(5)复数的模一定是正实数．(　　)

(6)若两个复数互为共轭复数，则这两个复数的模相等．(　　)

2．复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

3．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为(　　)

A．0  B．－5

C．－5i  D．5

4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.

题型一　复数的几何意义——微点探究

微点1　复数与复平面内点的位置关系

例1　(1)当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点所在象限为(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点

①位于第二象限？

②位于直线y＝x上？

方法归纳

(1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚部的符号，再类比平面直角坐标系进行判断．

(2)根据复数与复平面内的点Z一一对应的关系可通过点Z的位置来求参数的取值．点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的虚部．

微点2　复数与复平面内向量的对应关系

例2　(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为(　　)

A．－3＋2i  B．－2＋10i

C．4－2i  D．－12i

(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．

方法归纳

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

跟踪训练1　(1)已知a为实数，若复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)在▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(　　)

A．2－3i  B．4＋8i

C．4－8i  D．1＋4i

题型二　复数的模的计算——自主完成

1．已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则||＝________.

2．已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)

A．2  B．2

C．4  D.

3．已知复数z＝a＋ i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．

方法归纳

若复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，则|z|＝，已知复数的模求复数，只需套用模长公式的方程即可．

题型三　复数模的几何意义——师生共研

例3　设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．

(1)|z|＝2；

(2)1≤|z|≤2.

方法归纳

解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．

跟踪训练2　已知复数z＝3＋ai(a∈R)且|z|<4，则实数a的取值范围是________．

易错辨析　对复数与复平面中的向量的一一对应关系理解不到位致错

例4　在复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是________．

解析：向量平移后得到向量，则＝，因而向量所对应的复数是1＋i.

答案：1＋i

易错警示

1．2　复数的几何意义

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

实轴　虚轴　实数　原点

要点二

1．Z(a，b)

2.＝(a，b)

要点三

要点四

共轭复数　a－bi

[基础自测]

1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√

2．解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．

答案：D

3．解析：对应的复数z＝0－5i＝－5i.

答案：C

4．解析：由z＝1＋2i得|z|＝＝.

答案：

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：(1)∵<m<1，

∴2<3m<3，

∴3m－2>0，m－1<0，

∴z在复平面内对应的点的坐标在第四象限．

答案：(1)D

解析：(2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．

①由点Z位于第二象限得解得－2<a<1.

故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．

②由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.

答案：(1)D　(2)见解析

例2　解析：(1)由复数的几何意义知：

＝(1,4)，＝(－3,6)

∴＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)

∴向量＋对应的复数为－2＋10i.

解析：(2)记O为复平面的原点，由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．

设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，

＝(－5，－5)．

由题知，＝，

所以即

故点D对应的复数为－3－2i.

答案：(1)B　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)∵复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数，

∴

∴

∴a＝－1，

∴z＝a－ai＝－1＋i，在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．

答案：(1)B

解析：由复数的几何意义知A(4,1)，B(3,4)，C(3，－5)

设D点坐标为(x，y)，

则由＝，

得：

解得：x＝4，y＝－8，

故点D对应的复数为z＝4－8i

答案： C

题型二

1．解析：方法一：因为复数z＝3＋4i，所以＝3－4i，故||＝＝5.

方法二：||＝|z|＝＝5.

答案：5

2．解析：由题意可得x＋xi＝2＋yi，结合复数相等的充要条件可知则x＝y＝2.

故|x＋yi|＝|2＋2i|＝＝2.故选A.

答案：A

3．解析：∵z＝a＋ i在复平面内对应的点位于第二象限，

∴a<0.

由|z|＝2，得 ＝2，解得a＝－1或1(舍去)，

∴z＝－1＋ i.

答案：－1＋ i

题型三

例3　解析：(1)方法一　|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．

方法二　设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.

故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．

(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组

不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．

不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．

这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．

如图中的阴影部分，

所求点的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．

跟踪训练2　解析：解法一：∵z＝3＋ai(a∈R，i为虚数单位)，

∴|z|＝ .

由已知得32＋a2<42，

∴a2<7，∴a∈(－，)．

解法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，4为半径的圆内(不包括边界)．

由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－<a<.