终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    新教材2023版高中数学第五章复数2复数的四则运算2.1复数的加法与减法学案北师大版必修第二册
    立即下载
    加入资料篮
    新教材2023版高中数学第五章复数2复数的四则运算2.1复数的加法与减法学案北师大版必修第二册01
    新教材2023版高中数学第五章复数2复数的四则运算2.1复数的加法与减法学案北师大版必修第二册02
    新教材2023版高中数学第五章复数2复数的四则运算2.1复数的加法与减法学案北师大版必修第二册03
    还剩4页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法导学案

    展开
    这是一份北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法导学案,共7页。

    复数的运算:掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
    2.1 复数的加法与减法
    [教材要点]
    要点一 复数的加法与减法
    1.设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),
    则z1+z2=________________,z1-z2=________________.
    2.加法运算律:设z1、z2、z3∈C,有z1+z2=________,(z1+z2)+z3=____________.
    eq \x(状元随笔) 1.复数加法运算的理解
    (1)复数的加法中规定,两复数相加,是实部与实部相加,虚部与虚部相加,复数的加法可推广到多个复数相加的情形.
    (2)在这个规定中,当b =0,d =0时,则与实数的加法法则一致.
    (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立.
    要点二 复数加减法的几何意义
    若复数z1、z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up14(→))、eq \(OZ2,\s\up14(→))不共线,则复数z1+z2是以eq \(OZ1,\s\up14(→))、eq \(OZ2,\s\up14(→))为两邻边的____________的对角线eq \(OZ,\s\up14(→))所对应的________,即复数的加法可以按照向量的________来进行,如图,这就是复数加法的几何意义.
    这两个复数的差z1-z2与向量eq \(OZ1,\s\up14(→))-eq \(OZ,\s\up14(→))2(等于eq \(Z2Z1,\s\up14(→)))对应.作eq \(OZ,\s\up14(→))=eq \(Z2Z1,\s\up14(→)),则点Z对应复数z1-z2(如图),即复数(a-c)+(b-d)i.
    eq \x(状元随笔) 复数减法的几何定义的实质
    (1)根据复数减法的几何意义知,两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差.
    (2)在确定两复数的差所对应的向量时,应按照“首同尾连向被减”的方法确定.
    [教材答疑]
    [教材P170思考交流]
    证明:对任意两个复数z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R)
    z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
    z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i
    所以z1+z2=z2+z1,即复数的加法满足交换律.
    [基础自测]
    1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
    (1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数.( )
    (2)两个虚数的和(或差)一定是虚数.( )
    (3)复数的加法满足结合律,但减法不满足结合律.( )
    (4)复数z是实数的充要条件是z=eq \x\t(z).( )
    2.(3+2i)-(2+i)+(1-i)=( )
    A.2+2i B.4-2i
    C.2 D.0
    3.在复平面内,复数1+i与1+3i分别对应向量eq \(OA,\s\up14(→))和eq \(OB,\s\up14(→)),其中O为坐标原点,则|eq \(AB,\s\up14(→))|=( )
    A.eq \r(2) B.2
    C.eq \r(10) D.4
    4.(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=________.(x,y∈R)
    题型一 复数的加、减运算——自主完成
    1.若z+5-6i=3+4i,则复数z的值为( )
    A.-2+10i B.-1+5i
    C.-4+10i D.-1+10i
    2.已知i是虚数单位,则复数z=(3+i)+(-3-2i)的虚部是( )
    A.1 B.eq \r(2) C.-1 D.-i
    3.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R)且z1+z2=5-6i,则z1-z2=________.
    方法归纳
    (1)复数的加、减运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;
    (2)复数的加、减运算结果仍是复数;
    (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;
    (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
    题型二 复数加、减运算的几何意义——师生共研
    例1 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
    (1)向量eq \(AO,\s\up14(→))对应的复数;
    (2)向量eq \(CA,\s\up14(→))对应的复数;
    (3)向量eq \(OB,\s\up14(→))对应的复数.
    方法归纳
    1.向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.
    2.利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.
    3.注意向量eq \(AB,\s\up14(→))对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
    跟踪训练1 (1)已知i为虚数单位,在复平面内,点A,B,C所对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,若eq \(AD,\s\up14(→))=eq \(BC,\s\up14(→)),则点D对应的复数是( )
    A.1-3i B.-3-i
    C.3+5i D.5+3i
    (2)如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好为平行四边形的四个顶点,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则zA-zC=________.
    题型三 与复数模的几何意义有关的应用——师生共研
    利用复数的代数形式表示复数的模,根据已知条件,列出方程(组),解出未知数;也可利用复数的几何意义,借助图形,数形结合求解.
    例2 设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,
    |z1+z2|=eq \r(2),求|z1-z2|.
    方法归纳
    1.设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
    2.在复平面内,z1,z2对应的点为A、B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB①为平行四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
    跟踪训练2 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
    易错辨析 对复数加、减运算的几何意义理解不准确致错
    例3 复数z满足|z-1-i|=1,则|z+1+i|的最小值为________.
    解析:因为|z-1-i|=1,所以由复数减法的几何意义得复数z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆.而|z+1+i|则是圆上的点到点(-1,-1)的距离,所以|z+1+i|的最小值为eq \r(1+12+1+12)-1=2eq \r(2)-1.
    答案:2eq \r(2)-1
    易错警示
    §2 复数的四则运算
    2.1 复数的加法与减法
    新知初探·课前预习
    [教材要点]
    要点一
    1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
    2.z2+z1 z1+(z2+z3)
    要点二
    平行四边形 复数 加法
    [基础自测]
    1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
    2.解析:(3+2i)-(2+i)+(1-i)=(3-2+1)+(2-1-1)i=2
    答案:C
    3.解析:eq \(AB,\s\up13(→))对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,故|eq \(AB,\s\up13(→))|=|2i|=2.
    答案:B
    4.解析:原式=(2x-3x+y)+(3y+2y-2x-3x)i
    =(y-x)+5(y-x)i.
    答案:(y-x)+5(y-x)i
    题型探究·课堂解透
    题型一
    1.解析:z=3+4i-(5-6i)=-2+10i.
    答案:A
    2.解析:z=(3+i)+(-3-2i)=(3-3)+(1-2)i=-i,
    故复数z的虚部为-1.
    答案:C
    3.解析:∵z1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,
    ∴(x+3)+(2-y)i=5-6i,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x+3=5,,2-y=-6,))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=2,,y=8.))
    ∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.
    答案:-1+10i
    题型二
    例1 解析:(1)因为eq \(AO,\s\up13(→))=-eq \(OA,\s\up13(→)),所以向量eq \(AO,\s\up13(→))对应的复数为-3-2i.
    (2)因为eq \(CA,\s\up13(→))=eq \(OA,\s\up13(→))-eq \(OC,\s\up13(→)),所以向量eq \(CA,\s\up13(→))对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
    (3)因为eq \(OB,\s\up13(→))=eq \(OA,\s\up13(→))+eq \(OC,\s\up13(→)),所以向量eq \(OB,\s\up13(→))对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
    跟踪训练1 解析:(1)∵点A,B,C对应的复数分别为1+3i,-i,2+i,∴eq \(BC,\s\up13(→))对应的复数为2+2i.设D(x,y),∵eq \(AD,\s\up13(→))=eq \(BC,\s\up13(→)),
    ∴(x-1,y-3)=(2,2),
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1=2,,y-3=2,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=3,,y=5.))
    ∴点D对应的复数为3+5i,故选C.
    答案:(1)C
    解析:(2)因为eq \(OA,\s\up13(→))+eq \(OC,\s\up13(→))=eq \(OB,\s\up13(→)),所以4+ai+(a+bi)=6+8i.
    因为a,b∈R,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4+a=6,,a+b=8,))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=6.))所以zA=4+2i,zC=2+6i,
    所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.
    答案: (2)2-4i
    题型三
    例2 解析:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
    由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2+b2=1,,c2+d2=1,,a+c2+b+d2=2,))
    ∴2ac+2bd=0,
    ∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2
    =a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=2,
    ∴|z1-z2|=eq \r(2).
    方法二:∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)=4,
    ∴|z1-z2|2=2,
    ∴|z1-z2|=eq \r(2).
    方法三:在复平面内分别作出复数z1,z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→)),
    ∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=eq \r(2),∴eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→))不共线,
    以eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,
    ∵|z1|=|z2|=1,∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形,
    ∵|z1|2+|z2|2=|z1+z2|2,∴∠Z1OZ2=90°,
    ∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形,∴|z1-z2|=eq \r(2).
    跟踪训练2 解析:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
    由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2+b2=1,,c2+d2=1,,a-c2+b-d2=1,))
    ∴2ac+2bd=1,
    ∴|z1+z2|2=(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2=3,
    ∴|z1+z2|=eq \r(3).
    方法二:∵|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)=4,
    ∴|z1+z2|2=3,∴|z1+z2|=eq \r(3).
    方法三:在复平面内分别作出复数z1,z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→)),
    ∴eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→))不共线,
    以eq \(OZ1,\s\up13(→)),eq \(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2.
    ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
    ∴平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60°的菱形,
    ∴|z1+z2|=|OZ|
    =eq \r(|OZ1|2+|ZZ1|2-2|OZ1|·|ZZ1|·cs 120°)=eq \r(3).
    易错原因
    纠错心得
    误认为复数z对应的点的轨迹是以点(1,-1)为圆心,1为半径的圆致错.
    根据复数的几何意义知,|z|表示复数z对应的点Z与原点O的距离,也就是向量eq \(OZ,\s\up14(→))的模;|z-a-bi|(a,b∈R)表示复数z对应的点Z与复数a+bi对应的点A间的距离|ZA|.
    相关学案

    北师大版 (2019)必修 第二册2.2 复数的乘法与除法学案: 这是一份北师大版 (2019)必修 第二册2.2 复数的乘法与除法学案,共8页。

    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念学案设计: 这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念学案设计,共6页。

    高中北师大版 (2019)2.2 复数的乘法与除法第1课时学案: 这是一份高中北师大版 (2019)2.2 复数的乘法与除法第1课时学案,共8页。

    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map