高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质导学案，共6页。
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质[教材要点]要点一　正弦函数、余弦函数的基本性质1．定义域：________.2．最大(小)值：当α＝________(k∈Z)时，正弦函数v＝sin α取得最大值________；当α＝________________时，正弦函数v＝sin α取得最小值________．当α＝__________时，余弦函数u＝cos α取得最大值________；当α＝____________时，余弦函数取得最小值________．3．值域：________.4．周期性：对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝________，α∈R；对任意k∈Z，cos(α＋2kπ)＝________，α∈R，最小正周期为________．5．单调性：正弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．余弦函数在区间________________上单调递增，在区间________________上单调递减．要点二　正弦函数值和余弦函数值的符号　对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若sin α>0，则α是第一或第二象限的角．(　　)(2)正弦函数在第一象限是增函数．(　　)(3)在区间[0,3π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1.(　　)(4)余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数．(　　)2．sin 780°的值为(　　)  A．－  B.C．－  D.3．函数y＝－sin x的值域是(　　)A．[－1,1]  B.C.  D.4．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限． 题型一　正弦函数、余弦函数基本性质的应用——师生共研可模仿y＝sin x的有关性质来研究．例1　已知函数y＝－3sin x＋1.(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间；(2)求函数在区间上的最值．       变式探究　将本例中的“函数y＝－3sin x＋1”改为“函数y＝2cos x－4”，又如何呢？            方法归纳对于形如y＝asin x＋b的函数性质的研究可借助y＝sin x的性质．要清楚a，b对函数y＝asin x＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论． 题型二　2kπ＋α(k∈Z)的正弦、余弦公式的应用——自主完成　求下列各式的值：(1)sin 1 470°；(2)cos；(3)cos；(4)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°.           方法归纳要熟记公式sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，该公式可以将任意角的正、余弦值转化为0～2π或0°～360°内的角的正、余弦值，再通过特殊角的函数值求解．  题型三　正、余弦函数值的符号判断及应用——师生共研例2　(1)如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限．那么角θ所在的象限是(　　)  A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin(－670°)cos 1 230°；②sin 8·cos 8.            方法归纳一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限，可用口诀简记为“一全正，三全负，二正弦，四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值，第三象限角的正、余弦值全为负值，第二象限角的正弦值为正，第四象限角的余弦值为正． 跟踪训练　(1)[多选题]下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)A．sin 156°>0  B．cosπ<0C．sin 2<0  D．cos 2<0(2)已知角α的终边经过点P(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a的取值范围是________．4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．R2．2kπ＋　1　2kπ－(k∈Z)　－1　2kπ(k∈Z)　1　(2k＋1)π(k∈Z)　－13．[－1,1]4．sin α　cos α　2π5.(k∈Z)　(k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)[基础自测]1．(1)×　若角α的终边落在y轴的非负半轴上，也有sin α>0，此时角α不是第一或第二象限角．(2)×　(3)×　(4)√2．解析：sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝，故选B.答案：B3．解析：因为－1≤sin x≤1，所以－≤－sin x≤，即值域为.故选D.答案：D4．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴P(sin α，cos α)位于第三象限．答案：三题型探究·课堂解透题型一例1　解析：(1)由y＝sin x的性质可得y＝－3sin x＋1的性质如下：定义域：R值域：[－2,4]．周期性：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.单调性：由y＝sin x在区间(k∈Z)上是增加的，在(k∈Z)上是减少的，知y＝－3sin x＋1在区间(k∈Z)上是减少的，在区间(k∈Z)上是增加的．(2)因为函数y＝sin x在上是增加的，在上是减少的，且sin＝－，sin＝，y＝sin x在x＝－时取最小值－，在x＝时取最大值1.故y＝－3sin x＋1在上的最大值是－3×＋1＝；最小值是－3×1＋1＝－2.变式探究　解析：(1)由y＝cos x的基本性质可知函数y＝2cos x－4的性质如下：定义域：R值域：[－6，－2]．周期：周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π.单调区间：由y＝cos x的单调性可知，y＝2cos x－4在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减的．(2)因为函数y＝cos x在上是递增的，在上是递减的，且cos＝－，所以y＝cos x在x＝时取最小值－，在x＝0时取最大值1，故y＝2cos x－4在上的最大值是－2，最小值是－5.题型二解析：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝；(2)cos＝cos＝cos＝.(3)cos＝cos＝cos＝－.(4)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.题型三例2　解析：(1)因为点P位于第二象限，所以从而有所以角θ在第三象限，故选C.(2)①因为－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°角是第一象限角，则sin(－670°)>0.又1 230°＝3×360°＋150°，所以1 230°角是第二象限角，则cos 1 230°<0.所以sin(－670°)cos 1 230°<0.②因为2π＋π<8<2π＋π，所以8 rad是第二象限角，所以sin 8>0，cos 8<0，故sin 8·cos 8<0.答案：(1)C　(2)见解析跟踪训练　解析：(1)∵156°为第二象限角，∴sin 156°>0，A正确；∵＝2π＋为第三象限角，∴cosπ<0，B正确；∵2 rad为第二象限角，∴sin 2>0，cos 2<0，C错误，D正确．故选A、B、D.(2)∵sin α>0，cos α<0，∴角α的终边在第二象限，∴解得－2<a<3.答案：(1)ABD　(2)(－2,3)