北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用学案设计

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2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用[教材要点]要点一　两角和与差的正弦公式 名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝________________α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝________________α，β∈R　(1)记忆口诀：正余余正，符号相同．(2)公式逆用：sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)要点二　两角和与差的正切公式 名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝____________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)　公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)　符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材答疑][教材P146思考交流]在例3中，sin＝cos，是一个必然现象．因为：＋＝.所以－α＝－，∴sin＝sin＝cos，cos＝cos＝sin.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(　　)(3)存在α，β角，使得tan(α－β)＝tan α－tan β.(　　)(4)对任意的α，β角，都有tan(α±β)＝.(　　)2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于(　　)A．0　　　　　　　　　　B.C.  D．13．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　)A.  B．－C.  D．－4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________.  题型一　给角求值——自主完成求下列各式的值：(1)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°；(2)sin＋2sin－cos；(3)；(4)(tan 10°－)·.                         方法归纳解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．题型二　给值求值——师生共研寻找2α(2β)与已知α－β的变换关系．例1　(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．(2)已知tan＝，tan＝2.求：tan(α＋β)．        变式探究1　本例(1)中的条件改为“α∈，β∈，cos＝，sin＝”，求sin(α＋β)的值．        变式探究2　本例(2)中的条件改为“β∈，sin β＝，tan α＝”，求tan(α－β)．      方法归纳给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．  题型三　给值求角——师生共研例2　设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<，0<|β|<，求α＋β的值．              方法归纳(1)已知某三角函数值求角问题，通常分两步：①先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；②根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．(2)等式中同时出现tan A±tan B与tan A·tan B时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．跟踪训练　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．       易错辨析　忽略条件中隐含的角的范围出错例3　已知tan2α＋6tan α＋7＝0，tan2β＋6tan β＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．解析：由题意知∴tan α<0，tan β<0(*)又α，β∈(0，π)，∴α∈，β∈∴α＋β∈(π，2π)，∴tan(α＋β)＝＝＝1.∴α＋β＝π.易错警示易错原因纠错心得忽略(*)这一隐含条件.一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β要点二　[基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.答案：D3．解析：tan(α＋β)＝＝＝－.答案：B4．解析：因为α，β均为锐角，所以cos α＝，cos β＝.所以cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝×＋×＝.又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，所以0<α－β<，故α－β＝.答案：题型探究·课堂解透题型一解析：(1)∵＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.(2)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝0.(3)∵sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.(4)原式＝(tan 10°－tan 60°)＝＝·＝·＝·＝－＝－2.题型二例1　解析：(1)因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.所以sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.所以cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.(2)∵tan＝tan＝＝－∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝2－3.变式探究1　解析：∵<α<，∴－<－α<0.∴sin＝－＝－.又∵0<β<，∴<＋β<π，∴cos＝－＝－，sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝.变式探究2　解析：∵β∈，sin β＝，∴cos β＝－＝－＝－∴tan β＝＝＝－2∴tan(α－β)＝＝＝7.题型三例2　解析：由已知，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.所以tan(α＋β)＝＝＝，且tan α<0，tan β<0，所以－<α<0，－<β<0，所以－π<α＋β<0，所以α＋β＝－π.跟踪训练　解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.又因为α∈(0，π)，而tan α>0，所以α∈.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1.因为tan β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝>0，得α－β∈，所以2α－β∈(－π，0)．又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－.