2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算第2课时补集教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　补集1．在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)1．通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F ，那么：(1)这三个集合之间有什么联系？(2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论？知识点　全集与补集(1)全集①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U．全集一定是实数集R吗？[提示]　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z．(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言符号∁UA有三层意思：(1)A是U的子集，即A⊆U．(2)∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U．(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)集合∁BC与∁AC相等． (　　)(2)A∩(∁UA)＝∅． (　　)(3)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．(1)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁UA＝(　　)A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}(2)已知全集U为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则∁UA＝________．(1)C　(2){x|1≤x<5}　[(1)由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁UA＝{2，4，7}．故选C．(2)集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是∁UA＝{x|1≤x<5}．] 类型1　补集的运算【例1】　(对接教材P13例题)(1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________．(1){2，3，5，7}　(2){x|x<－3，或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2，3，5，7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}．]求集合的补集的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．[跟进训练]1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB等于(　　)A．{2，4}　　　 B．{0，1，3，5}C．{1，3，5，6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁UA＝______．(1)C　(2){x|0<x<2，或x≥6}　[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以∁AB＝{1，3，5，6}．故选C．(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA＝{x|0<x<2，或x≥6}．] 类型2　集合交、并、补集的综合运算【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩∁RB．[解]　把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≤2，或x≥10}．∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系：(1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)．(2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)．[跟进训练]2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，求集合A，B．[解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}．法二(定义法)：(∁UB)∩A＝{1，9}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，∴∁UB＝{1，4，6，7，9}．又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴B＝{2，3，5，8}．∵(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1，3，9}． 类型3　与补集有关的参数值的求解【例3】　已知全集U＝R，设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}．(1)若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围；(2)若(∁UA)∩B≠∅，求实数m的取值范围．由(∁UA)∩B＝∅或(∁UA)∩B≠∅为切入点，借助数轴分析∁UA与B的关系，从而得出m的取值范围．[解]　(1)由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示，如图，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2．所以m的取值范围是{m|m<2}．由集合的补集求解参数的方法(1)直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．(2)数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．[跟进训练]3．已知全集U＝{2，0，3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，∁UP＝{－1}，求实数a的值．[解]　由已知，得－1∈U，且－1∉P，因此解得a＝2．当a＝2时，U＝{2，0，－1}，P＝{2，0}，∁UP＝{－1}，满足题意．因此实数a的值为2．1．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　)A．{0}　　　　　 B．{1}C．∅ D．{0，1}D　[∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}，故选D．]2．设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U等于(　　)A．{0，2，4，6} B．{0，2，4}C．{6} D．∅A　[∵M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，∴U＝M∪∁UM＝{0，2，4，6}，故选A．]3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}C　[因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．故选C．]4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，则实数b＝________．2　[∵∁UA＝{x|x<1，或x≥2}，∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2．]5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3}，集合B＝{3，4，6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为________．{4，6}　[题图中阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)＝{3，4，6}∩{2，4，5，6}＝{4，6}．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．集合∁AB的含义是什么？[提示]　∁AB＝{x|x∈A，且x∉B}．2．同一集合在不同全集下的补集相同吗？[提示]　不同．3．∁UA、A及U间存在怎样的关系？[提示]　(1)∁UA⊆U，A⊆U；(2)(∁UA)∪A＝U；(3)(∁UA)∩A＝∅．