2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件教师用书新人教A版必修第一册

1.4.2　充要条件1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 老赵邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老赵说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老赵愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？知识点　充要条件(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；②充分不必要条件，即p⇒q且qp．③必要不充分条件，即pq且q⇒p．④既不充分也不必要条件，即pq且qp．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1) “x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．(2) “x<5”是“x<3”的________．(1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B， 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．] 类型1　充分、必要、充要条件的判断【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：a＞b；q：ac＞bc．[解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．[跟进训练]1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．(1)p：x>－1，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA．[解]　(1)p：x＞－1，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件． 类型2　充要条件的证明【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是不是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：证明时务必要分清充分性与必要性的证明方向．[跟进训练]2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0．①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0． 类型3　充要条件的应用【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．联想必要不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系．[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或解得m≤3．又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．[母题探究]本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB．所以或解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．1．“x>0”是“x≠0”的(　　 )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．故选A．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B．]3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)A．a≥3　　　　　　 B．a≤－1C．－1≤a≤3 D．a≤3B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1．故选B．]4．函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．m＝－2　[函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f (x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]5．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________．[答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等回顾本节知识，自主完成以下问题：1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？[提示]　条件p与结论q的关系结　论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件2．要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？[提示]　需要证明充分性和必要性两个方面．