2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定教师用书新人教A版必修第一册

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词． 2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．知识点　含有一个量词的命题的否定p﹁p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁_p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁_p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定，要先改变量词，再否定结论．对省略量词的命题怎样否定？[提示]　一般地，对于省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]2．已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则﹁p为________．[答案]　∃x>0，使得x＋1≤1． 类型1　全称量词命题的否定【例1】　(对接教材P29例题)写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0．[解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0．对全称量词命题否定的两个步骤[跟进训练]1．写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)任何一个圆都是轴对称图形；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．[解]　(1)命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)命题的否定：存在一个圆不是轴对称图形．(3)命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． 类型2　存在量词命题的否定【例2】　(对接教材P30例题)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0．[解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0．∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题．对存在量词命题否定的两个步骤[跟进训练]2． 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p：存在x∈R，2x＋1≥0；(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；(3)r：有些分数不是有理数．[解]　(1)任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．(2)任意x∈R，x2－x＋≥0．因为x2－x＋＝≥0，所以是真命题．(3)一切分数都是有理数，是真命题． 类型3　全称量词命题与存在量词命题的综合应用【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考探求建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．[母题探究]把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．[解]　令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1) 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值．(或a＜y最小值)(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值．(或a＜y最大值)[跟进训练]3．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．{a|a≤4}　[∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4．]1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)A．∀x∉R，x2≠x　 B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝xD　[此全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＝x．故选D．]2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　 )A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C．]3．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)D　[因为p为假命题，所以﹁p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D．]4．量词“至多有一个”的否定为________．[答案]　至少有两个5．命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．真　[x2＝5得x＝±∉Q，∴当x∈Q，x2＝5的否定是真命题．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：∀x∈M，p(x)的否定为存在量词命题： ∃x∈M，﹁p(x)．3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？[提示]　假命题．