2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式教师用书新人教A版必修第一册

2.2　基本不等式第1课时　基本不等式1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．填写下表：ab与的大小关系   1   416   22   ……   问题：(1)观察与的大小关系，从中你发现了什么结论？(2)你能给出它的证明吗？知识点　基本不等式(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．(2)变形：①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．不等式a2＋b2≥2ab与不等式≤成立的条件一样吗？[提示]　不一样，前者为a＝b，后者为a＝b>0．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)(2)若a≠0，则a＋≥2＝2． (　　)(3)若a>0，b>0，则ab≤． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)A．a＝±1　　　 B．a＝1C．a＝－1 D．a＝0B　[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．] 类型1　对基本不等式的理解【例1】　(多选)下面四个推导过程正确的是(　　)A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2D．若a<0，b<0，则≤abAC　[∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的，故B错误；由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；D错误，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．故选AC．]对基本不等式的准确掌握要抓住2个方面(1)定理成立的条件是a，b都是正实数．(2) “当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b．[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号)①若x＞1，则x＋≥2＝2．②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4．③若a，b∈R，则＋≥2＝2．②　[ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．] 类型2　利用基本不等式比较大小【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)A．P＞Q＞M　 B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)B　(2)p>q　[(1)法一：显然＞，又－＝＜0，所以＞，所以＞＞．故M＞P＞Q．法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故选B．(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．即p>q．]运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b．[跟进训练]2．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　)A．a2＋b2　　B．2　　C．2ab　　D．a＋bD　[法一：∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D．法二：(特殊值法)取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D．] 类型3　利用基本不等式证明不等式【例3】　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9．由a＋b＋c＝1为切入点，思考是否需要把“＋＋”中的“1”替换成a＋b＋c，然后利用基本不等式证明＋＋>9．[证明]　∵a，b，c是正数，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c时取等号，而a、b、c互不相等，∴＋＋>9．[母题探究]本例条件不变，求证：>8．[证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．[跟进训练]3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．[证明]　由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2．1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　)A．x≥2y　　　 B．x>2yC．x≤2y D．x<2yB　[由题意可知x－2y>0，∴x>2y．]2．下列不等式正确的是(　　)A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2C　[因为a的符号不确定，所以AB均不正确．D选项显然错误．故选C．]3．(多选)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为(　　)A．≥ab B．＋≥2C．ab≤ D．≤ACD　[由a，b∈R，得≥ab，A正确；由a，b∈R，得与不一定是正数，故B不一定成立；ab－＝－≤0，故C正确；－＝－≤0，故D正确，故选ACD．]4．比较大小：________2．(填“>” “<” “≥”或“≤”)≥　[＝＝＋≥2．当且仅当＝，即x＝0时取“＝”．]5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______．(填序号)①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab．③　[根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错误，只有③正确．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．如何由不等式a2＋b2≥2ab导出≤？[提示]　对于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2，即≤．2．基本不等式≤的常见变形有哪些？[提示]　①a＋b≥2；②ab≤．