2023新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式的解法教师用书新人教A版必修第一册

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式第1课时　一元二次不等式的解法1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点)2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(重点)1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养．2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升直观想象、数学运算素养．已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)一元二次方程的根是什么？(3)问题1中的交点横坐标与问题2中的根有何内在联系？(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？(5)能否利用问题4得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？知识点1　一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数1．a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？[提示]　可以．1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4A　[只有③是一元二次不等式，故选A．]知识点2　二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？[提示]　不是．是图象与x轴交点的横坐标．2．函数y＝x2－2x－3的零点为________．－1或3　[由y＝0得x2－2x－3＝0，即x＝－1或x＝3．即函数的零点为－1或3．]知识点3　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根．3．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示．(1)若y>0，则x满足的条件是________；(2)若y≤0，则x满足的条件是________．[答案]　(1)x<0或x>5　(2)0≤x≤54．不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．∅　[∵Δ＝9－4×6＝－15<0，∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为∅．] 类型1　一元二次不等式的求解【例1】　(对接教材P52例题)解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0．[解]　(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2．因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是．(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0．因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋．因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是．(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是．(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．[跟进训练]1．解下列不等式．(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．[解]　(1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅．(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3<x<7}．(3)不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R．(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0．因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是． 类型2　含参数的一元二次不等式的解法【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．(1)对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？(2)当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1．当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，∵<1，∴x<或x>1．当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．若<1，即a>1，则<x<1；若＝1，即a＝1，则x∈∅；若>1，即0<a<1，则1<x<．综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为．[母题探究]将本例中不等式变为“x2－(a＋1)x＋a＜0”，解这个不等式．[解]　原不等式可化为(x－1)(x－a)＜0．讨论a与1的大小．(1)a＞1时，不等式的解为1＜x＜a；(2)a＝1时，不等式的解为空集；(3)a＜1时，不等式的解为a＜x＜1．综上可知，a＞1时解集是{x|1＜x＜a}；a＝1时，解集为∅；a＜1时解集为{x|a＜x＜1}．解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[跟进训练]2．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0．[解]　原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小．(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4．(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1．综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}，当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)，或x<a＋1}． 类型3　三个“二次”的关系【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．以不等式的解集端点同相应方程根的关系为切入点，思考如何建立参数a，b，c同实根2，3的关系，进而解不等式．[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6．由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为．[母题探究](变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．解得．一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．(2)求解步骤：第一步：审结论－－明确解题方向如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．第二步：审条件－－挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c．第三步：建联系－－找解题突破口由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．[跟进训练]3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．[解]　因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2＋px＋1>0即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3．即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)A． B．C． D．RC　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－．故选C．]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)A． B．C．∅ D．RD　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．故选D．]3．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DB　[由题意可知，a<0且－2，1是图象y＝ax2－x－c与x轴交点的横坐标，结合图象可知B正确．故选B．]4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．　[因为a<－1，所以a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0．又a<－1，所以>a，所以x>或x<a．]5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．　[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，故解得a＝c，b＝a．所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？[提示]　(1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？[提示]　(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0．(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2．3．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？[提示]　由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．