2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第2课时函数的概念二教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　函数的概念(二)1．会判断两个函数是不是同一个函数．(重点)2．能正确使用区间表示数集．(重点)3．会求一些简单函数的值域．(难点)1．通过对区间概念的理解，判断两个函数为同一个函数，提升数学抽象素养．2．通过求一些简单函数的值域，提升直观想象、数学运算素养．“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为我们这个时代的新四大发明，其中高铁更是一张靓丽的中国名片，代表着“中国速度”．之所以称为“高铁”，是因为普快和快速列车的运行速度一般控制在80～120千米/时，特快列车的运行速度控制在120～140千米/时，而高铁的运行速度控制在200～350千米/时．问题：用集合表示上述三类列车的运行速度的范围稍显麻烦，还有其他表示方法吗？知识点1　区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．1．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10，100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10，100]，(2)为(1，＋∞)．]知识点2　同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一个函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．2．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________．(填序号)①f (x)＝x，g(x)＝；②f (x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；③f (x)＝x，g(x)＝．[答案]　②③知识点3　常见函数的值域函数定义域值域f (x)＝ax＋b(a≠0)RRf (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)R当a>0时，值域为当a<0时，值域为y＝(a≠0){x|x≠0}{y|y≠0}3．函数f (x)＝x2＋1的值域为________．[1，＋∞)　[∵f (x)＝x2＋1≥1，∴f (x)的值域为[1，＋∞)．] 类型1　区间的应用【例1】　把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4) {x|－2<x≤2且x≠0}．[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)．(4) {x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]．用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．[跟进训练]1．(1)集合{x|0<x<1或2≤x≤4}用区间表示为________．(2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________．(1)(0，1)∪[2，4]　(2)(－3，2)　[(1){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]；(2)由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3<a<2，所以实数a的取值范围是(－3，2)．] 类型2　同一个函数的判断【例2】　(对接教材P66例题)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)A．f (x)＝与g(x)＝xB．f (x)＝x与g(x)＝C．f (x)＝x0与g(x)＝D．f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1CD　[对于A，f (x)＝＝－x与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．对于B，g(x)＝＝|x|与f (x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．对于C，f (x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．对于D，f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD．]同一个函数的判断应注意的3点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．[跟进训练]2．下列各组函数：①f (x)＝，g(x)＝x－1；②f (x)＝，g(x)＝；③f (x)＝·，g(x)＝；④f (x)＝，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示同一个函数的是________．(填序号)③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同，f (x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R．②不是同一个函数，对应关系不同，f (x)＝，g(x)＝．③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．④不是同一个函数，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R．⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．] 类型3　求函数的值域【例3】　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝＋1；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]；(4)y＝．结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用哪种方式求最值．[解]　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}，∴y∈{3，5，7，9，11}．∴函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)∵≥0，∴＋1≥1．∴函数的值域为[1，＋∞)．(3)配方得y＝(x－2)2＋2．∵x∈[1，5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]．(4)∵y＝＝＝3＋≠3，∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．[跟进训练]3．求下列函数的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(2)y＝x＋．[解]　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3．∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12，3]．(2)法一：设u＝，则u≥0，∴x＝．∴y＝＋u＝(u＋1)2．∵u≥0，∴y≥，∴y＝x＋的值域为．法二：∵2x－1≥0，∴x≥．而当x增大时y也增大，∴y≥，∴y＝x＋的值域为．1．区间[5，8)表示的集合是(　　)A．{x|x≤5或x>8}　 B．{x|5<x≤8}C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}[答案]　C2．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　)A．y＝()2 B．y＝C．y＝|x| D．y＝D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R．故选D．]3．函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　)A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}A　[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}．故选A．]4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1，且x≠2}＝________．[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2，4]　(3)(－1，2)∪(2，＋∞)5．将函数y＝的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0，1]　[由解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．区间[a，b]中a，b满足什么条件？ [提示]　区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a<b．2．如何判断两个函数是否是同一个函数？[提示]　判定两个函数是不是同一个函数时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．求函数值域的常用方法有哪些？[提示]　(1)观察法； (2)配方法 ；(3)分离常数法；(4)换元法．