2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2函数的表示法第2课时分段函数教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　分段函数1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题培养数学建模素养．设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．x6.355π－－1.5－2y6     (1)y是关于x的函数吗？(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？知识点　分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(多选)下列给出的式子是分段函数的是(　　)A．f (x)＝ B．f (x)＝C．f (x)＝ D．f (x)＝AD　[结合分段函数的定义可知AD是分段函数，BC中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选AD．] 类型1　分段函数的求值问题【例1】　已知函数f (x)＝(1)求f (－5)，f (－)，f 的值；(2)若f (a)＝3，求实数a的值．[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4．f (－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2．∵f ＝－＋1＝－，而－2<－<2，∴f ＝f ＝＋2×＝－3＝－．(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0．∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3．∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f (a)＝3时，a＝1或a＝2．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．[跟进训练]1．函数f (x)＝则f (7)＝________．8　[∵函数f (x)＝∴f (7)＝f (f (12))＝f (9)＝f (f (14))＝f (11)＝8．] 类型2　分段函数的图象及应用【例2】　(对接教材P68例题)已知函数f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；(2)求函数φ(x)的定义域，值域．[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象如图①．①　　　　　　　　　　②由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]．分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝1＋(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f (x)；(2)画出f (x)的图象；(3)写出函数f (x)的值域．[解]　(1)当0≤x≤2时，f (x)＝1＋＝1，当－2<x<0时，f (x)＝1＋＝1－x，∴f (x)＝(2)函数f (x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 类型3　分段函数的实际应用【例3】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F )的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF ＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解．[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm．(1)当点F 在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；(2)当点F 在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；(3)当点F 在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABF ED＝S梯形ABCD－SRt△CEF ＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10．综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝图象如图所示．分段函数的建模(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．[跟进训练]3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]．由题意得函数的解析式如下：y＝函数图象如图所示：1．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　)A．1　　　B．2　　　C．8　　　D．9A　[f (3)＝3－2＝1．故选A．]2．函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DB　[f (x)＝|x－1|＝故选B．]3．函数y＝的值域是________．[答案]　[0，＋∞)4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为________．f (x)＝　[当0≤x≤1时，设f (x)＝kx，又过点(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；当1<x<2时，f (x)＝2；当x≥2时，f (x)＝3．综上f (x)＝]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何求分段函数的定义域和值域？[提示]　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．画分段函数的图象应注意哪些问题？[提示]　分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．3．分段函数求值时应注意哪些问题？[提示]　分段函数求值时应注意找准自变量所在的区间．