2023新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第2课时奇偶性的应用教师用书新人教A版必修第一册

第2课时　奇偶性的应用1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(重点)2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题．(难点)1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养． 类型1　利用函数的奇偶性求解析式【例1】　函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．[解]　设x<0，则－x>0，∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数，∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，∴当x<0时，f (x)＝－x－1．又x＝0时，f (0)＝0，所以f (x)＝利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中．(3)利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x)表示，从而求出f (x)．提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0；但若为偶函数，未必有f (0)＝0．[跟进训练]1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝________．(2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，则函数f (x)的解析式为__________．(1)x(x＋1)　(2)　[(1)设x>0，则－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f (x)为R上的偶函数，故当x>0时，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f (x)＝x(x＋1)．(2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．由f (x)＋g(x)＝， ①用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝，∴f (x)－g(x)＝， ②(①＋②)÷2，得f (x)＝．] 类型2　利用函数的单调性与奇偶性比较大小【例2】　设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)是单调递增的，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　)A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f (x)是单调递增的，则x∈(－∞，0)时，f (x)是单调递减的，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．][母题探究](1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．[解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)．(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，因为－3<－2<π，所以f (－3)<f (－2)<f (π)．比较函数值大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上：(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．[跟进训练]2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f (1)<f <f  B．f <f (1)<f C．f <f <f (1) D．f <f (1)<f B　[∵函数f (x＋2)是偶函数，∴函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f ＝f ，f ＝f ，又f (x)在[0，2]上单调递增，∴f <f (1)<f ，即f <f (1)<f ．故选B．] 类型3　利用函数的单调性与奇偶性解不等式【例3】　已知定义在[－2，2]上的奇函数f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m)<f (m)，求实数m的取值范围．判断f (x)在[－2，2]上的单调性，由此思考如何解不等式f (1－m)<f (m)?[解]　因为f (x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f (x)在[－2，2]上单调递减．又f (1－m)<f (m)，所以即解得－1≤m<．故实数m的取值范围是－1≤m<．抽象不等式的求解策略解有关奇函数f (x)的不等式f (a)＋f (b)<0，先将f (a)＋f (b)<0变形为f (a)<－f (b)＝f (－b)，再利用f (x)的单调性去掉“f ”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)＝f (－|x|)将f (g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f ，使不等式得解．[跟进训练]3．(1)定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)<f (b)，则一定可得(　　)A．a<b　　　　 B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0(2)已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________．(1)C　(2)(－3，0)∪(3，＋∞)　[(1)∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴由f (a)<f (b)可得|a|<|b|．故选C．(2)结合题意，画出草图如图所示，由<0可知：当x<0时，f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)A．y＝x3　　　 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－B　[对于函数y＝|x|＋1，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数．故选B．]2．函数f (x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f (3)<f (2a＋1)，则a的取值范围是(　　)A．a>1　　　 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2C　[因为函数f (x)在实数集上是偶函数，且f (3)<f (2a＋1)，又函数f (x)在[0，＋∞)上是增函数，所以2a＋1＜－3或2a＋1＞3，解之得a>1或a<－2．故选C．]3．若f (x)满足f (－x)＝f (x)，且f (x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)A．f <f (－1)<f (2) B．f (－1)<f <f (2)C．f (2)<f (－1)<f  D．f (2)<f <f (－1)D　[∵f (－x)＝f (x)，∴f (x)为偶函数．又f (x)在(－∞，－1]上递增，且－2<－<－1，∴f (－2)<f <f (－1)，∴f (2)<f <f (－1)．故选D．]4．若奇函数f (x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f (x)在区间[2，4]上的最小值为________．－2　[∵奇函数图象关于原点对称，∴f (x)在区间[2，4]上的最小值为－2．]5．若f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，求f (x)的解析式．[解]　当x<0时，－x>0，f (－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f (x)是奇函数，故f (x)＝－f (－x)，所以f (x)＝－x2－2x－3．即当x<0时，f (x)＝－x2－2x－3．又因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0．故f (x)＝回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？[提示]　若f (x)为奇函数，且在原点处有定义，则f (0)＝0；若f (x)为偶函数，则无法判断该值的大小．2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？[提示]　如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f (x)在区间(a，b)上单调递减，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增．3．若奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？[提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|．