2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.1对数函数的概念教师用书新人教A版必修第一册

4.4　对数函数4.4.1　对数函数的概念1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(重点)2．会求简单的对数型函数的定义域．(重点、易错点)1．通过具体实例形成对数函数的概念，提升数学抽象的核心素养．2．通过实例体会对数函数的应用，提升数学运算的核心素养． 我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足y＝，也就是说，y是x的函数．在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？知识点　对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0． (　　)(2)y＝log2x2是对数函数． (　　)(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1． (　　)(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型1　对数函数的概念及应用【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝logx；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx．其中是对数函数的为(　　)A．③④⑤　　　 B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f ＝________．(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4．(3)设对数函数为f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f (16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f (x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1．]判断一个函数是对数函数的方法[跟进训练]1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________．2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．又a>0且a≠1，所以a＝2．] 类型2　对数函数的定义域【例2】　(对接教材P130例题)求下列函数的定义域：(1)f (x)＝＋ln(x＋1)；(2)f (x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解]　(1)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1，2)．(2)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为．求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．提醒：求与对数函数有关的定义域问题时，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．[跟进训练]2．求下列函数的定义域．(1)y＝log3x2；(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；(3)y＝；(4)y＝log7．[解]　(1)∵x2>0，即x≠0．∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．(2)∵4－x>0，即x<4．∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．(3)∵x＞0，且lg x≠0．∴x＞0且x≠1．∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<．∴函数y＝log7的定义域为． 类型3　对数函数模型的应用【例3】　(对接教材P131例题)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y间存在的关系？[解]　由题意可知(1－20%)y＝x，0<x≤1．即y＝log0.8x，0<x≤1．y与x的关系式为y＝log0.8x，0<x≤1．利用指数、对数函数解决应用问题(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax．(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．[跟进训练]3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)＝C0e－rt，其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．[解]　因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e－5 730r．解得r＝．因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t)＝C0e·t＝C0·2．设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，于是2＝．两边取以2为底的对数，得－＝log2．解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055．所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年．1．下列函数是对数函数的是(　　)A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx[答案]　A2．如果函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，那么a的值为(　　)A．　　B．　　C．2　　D．4C　[由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2，又a>0且a≠1，∴a＝2，故选C．]3．函数f (x)＝的定义域是(　　)A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)D　[由得∴x≥4且x≠10，故选D．]4．若函数f (x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．2　[∵f (x)是对数函数，∴a－1＝1，∴a＝2，经检验a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2．]5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．128　[由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何判断一个函数是不是对数函数？[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？[提示]　除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．