2023新教材高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角教师用书新人教A版必修第一册

5.1　任意角和弧度制5.1.1　任意角1．了解任意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(重点)2．理解象限角的意义，掌握终边相同的角的意义与表示．(重点、难点)通过正角和负角理解角的大小、旋转方向，通过角的终边所在的象限的讨论，培养数学抽象与逻辑推理核心素养． 如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时．(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？知识点1　任意角(1)角的旋转定义自然语言角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形符号语言O为顶点，射线OA为始边，OB为终边，α＝∠AOB图形语言(2)角的推广与分类－－正角、负角和零角类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角射线OA没有作任何旋转，终边OB与OA重合1．终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]　不一定，还有可能是±360°，±720°，…1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)大于90°的角都是钝角． (　　)(2)零角的终边与始边重合． (　　)(3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°． (　　)(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．图(1)　　　　　　　　图(2)[答案]　390°　－150°　60°知识点2　角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β．(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．3．如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________．图(1)　　　　　图(2)[答案]　110°　－70°知识点3　象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．2．“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？[提示]　锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．4．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)－30°是第四象限角． (　　)(2)第二象限角是钝角． (　　)(3)225°是第三象限角． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√知识点4　终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．3．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？[提示]　终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．5．与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)(　　)A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°B　[∵610°＝360°＋250°，故选B．] 类型1　任意角的概念【例1】　(1)下列结论：①始边相同而终边不同的角一定不相等；②小于90°的角是第一象限角；③钝角比第三象限角小；④角α与－α的终边关于x轴对称．其中正确的结论为________(填序号)．(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________．(1)①④　(2)－40°　[(1)①正确；②错误，如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．[跟进训练]1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝(　　)A．150°　　B．－150°　　C．390°　　D．－390°(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)A．120°　　B．－120°　　C．－60°　　D．60°(1)B　(2)B　[(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B．(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°．故选B．] 类型2　终边相同的角的表示及应用【例2】　(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来；(2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°<β<360°的元素有哪些？[解]　(1)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6．k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°．(2)直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°．因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．由于－360°<β<360°，即－360°<135°＋n·180°<360°，n∈Z．解得－<n<，n∈Z．所以n＝－2，－1，0，1．所以集合S中适合不等式－360°<β<360°的元素为：135°－2×180°＝－225°；135°－1×180°＝－45°；135°＋0×180°＝135°；135°＋1×180°＝315°．1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[跟进训练]2．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°．(2)最大的负角为－45°．(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°． 类型3　象限角及区域角的表示【例3】　(1)若α是第一象限角，则－是(　　)A．第一象限角　　 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角(2)如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．以终边相同的角为切入点，思考如何表示某个区域内的角？(1)D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，所以－k·180°－45°<－<－k·180°，k∈Z，所以－是第二、四象限角．故选D．](2)[解]　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母题探究]若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？[解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．1．表示区间角的3个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°．第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2．nα或所在象限的判断方法(1)用不等式表示出角nα或的范围；(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z．由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．[跟进训练]3．(1)若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　)A．③⑦　　　 B．④⑧C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．(1)A　[∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)，∴k·180°＋90°<<k·180°＋135°(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋90°<<n·360°＋135°(n∈Z)，其终边在区域③内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋270°<<n·360°＋315°(n∈Z)，其终边在区域⑦内．∴角的终边所在的区域为③⑦．故选A．](2)[解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)A．45°　　B．90°　　　C．180°　　D．270°B　[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．故选B．]2．下列各个角中与角2 021°终边相同的角的度数是(　　)A．－149°　　B．679°　　C．321°　　D．221°D　[因为2 021°＝360°×5＋221°，所以与2 021°终边相同的角是221°．故选D．]3．角－870°的终边所在的象限是(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C　[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C．]4．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．－670°　[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°．]5．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．[答案]　{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}回顾本节知识，自主完成以下问题：1．任意角的分类有哪几种？[提示]　按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位置可分为象限角和轴上角．2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？[提示]　所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意k是整数，这个条件不能漏掉．3．如何由α所在象限，确定(n∈N＋)所在的象限．[提示]　(1)不等式法．①由角α的范围(用k表示)，表示角的范围；②通过对k进行分类讨论，判断角所在象限．(2)几何法．作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上“一、二、三、四”．α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．