2023新教材高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx φ第1课时函数y＝Asinωx φ的图象及变换教师用书新人教A版必修第一册

5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．2．借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养．在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．(1)　　　　　　　　　　(2)将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？知识点　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？[提示]　∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ω，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移个单位长度．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位长度所得图象的解析式是y＝sin． (　　)(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x．              (　　)(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．              (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)A．y＝sin x－　 B．y＝sin x＋C．y＝sin D．y＝sinD　[根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．故选D．] 类型1　匀速圆周运动的数学模型【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．[解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt．根据三角函数的定义，得P点纵坐标y＝|OP|sin∠POx＝20sin，即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sin，又∵ω＝2，∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．[跟进训练]1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sinC　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0．又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝．解得φ＝．故选C．] 类型2　平移变换【例2】　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)A．y＝sin＋2 B．y＝sin－2C．y＝sin－2 D．y＝sin＋2(2)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(1)D　(2)B　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D．(2)由y＝sin＝sin 4得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度即可，故选B．]图象平移变换的方法(1)确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．(2)当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位长度；若φ＜0，则右移|φ|个单位长度．(3)当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位长度；若φ＜0，则右移个单位长度．[跟进训练]2．为了得到y＝sin的图象，只需将函数y＝cos x的图象向右平移__________个单位长度．　[y＝sin＝cos＝cos＝cos，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin．] 类型3　伸缩变换【例3】　已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)先由y＝sin x平移得到y＝sin，再伸缩得到y＝sin与先伸缩得到y＝sin 2x，再平移得到y＝sin，两次平移的量是否相同？[解]　法一(先平移后伸缩)：①把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．法二(先伸缩后平移)：①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；②把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．三角函数图象伸缩变换的方法[跟进训练]3．把函数y＝f (x)的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，则f (x)的解析式是(　　)A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝3sin xC．f (x)＝3cos x＋3 D．f (x)＝sin 3x1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝tan的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度[答案]　D2．若函数 y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y＝f (x)的图象，则(　　)A．f (x)＝cos 2xB．f (x)＝sin 2xC．f (x)＝－cos 2xD．f (x)＝－sin 2xA　[依题意得f (x)＝sin ＝sin＝cos 2x．故选A．]3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则(　　)A．ω＝，A＝4 B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝4A　[由题意可得T＝＝，可得ω＝，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4．故选A．]4．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．　[函数y＝cos xy＝cosx．所以ω＝．]5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．　　[y＝3sin xy＝3siny＝3sin，y＝3sin xy＝3siny＝3sin＝3sin．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种不同的变换途径吗？[提示]　(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？[提示]　若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度；若先周期变换后相位变换，平移个单位长度．