2023新教材高中数学第5章三角函数微专题5三角函数中的最值问题教师用书新人教A版必修第一册

微专题5　三角函数中的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决． 类型1　y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题【例1】　(1)函数y＝5sin x－12cos x在x＝θ处取得最值，则tan θ＝(　　)A．　　　B．±　　　C．－　　　D． ±(2) 已知函数f (x)＝2sin2－cos 2x，则f (x)在x∈的最小值是________，若不等式f (x)－m<2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围是________．(1)C　(2)2　(1，＋∞)　[(1)y＝5sin x－12cos x＝13＝13sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，依题意可得13sin(θ－φ)＝±13，即sin(θ－φ)＝±1，所以θ－φ＝＋kπ，k∈Z，θ＝φ＋＋kπ，k∈Z，所以tan θ＝tan＝tan＝＝＝－．故选C．(2)∵f (x)＝2sin2－cos 2x＝1－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1．又∵x∈，∴≤2x－≤，即2≤1＋2sin≤3，∴f (x)max＝3，f (x)min＝2．∵f (x)－m<2⇔f (x)－2<m，∵x∈，且f (x)max＝3，∴m>f (x)max－2＝1，∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)．] 类型2　可化为y＝f (sin x)型的值域问题【例2】　已知函数f (x)＝sin ωx－cos ωx的最小正周期为π，g(x)＝2sin2－4λf (x)－1．(1)求函数f (x)的解析式；(2)若x∈时，函数g(x)的最小值为－，求实数λ的值．[解]　(1)f (x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，因为f (x)最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，所以f (x)＝sin．(2)由题知g(x)＝2sin2－4λsin－1＝22－1－2λ2，因为x∈，所以0≤2x－≤，0≤sin≤1．①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，g(x)取得最小值为－1，与已知不符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，g(x)取得最小值为－1－2λ2，由－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)，λ＝；③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，g(x)取得最小值为1－4λ，由1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝． 类型3　含sin x±cos x，sin xcos x的最值问题【例3】　求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域．[解]　令t＝sin x＋cos x，则有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝．∴y＝f (t)＝t＋＝(t＋1)2－1．又t＝sin x＋cos x＝sin，∴－≤t≤．故y＝f (t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．从而知f (－1)≤y≤f ()，即－1≤y≤＋．故函数的值域为． 类型4　实际问题中的最值【例4】　如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF ，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA＝θ，求矩形CDEF 的面积最大值．[解]∵OF＝cosθ，CF＝sinθ，∴OE＝＝＝，EF＝OF－OE＝cosθ－，∴S＝EF·CF＝sinθ＝sinθ·cosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－＝－＝sin－，∵θ∈，∴2θ＋∈，∴当2θ＋＝，即θ＝时，矩形CDEF的面积S取得最大值． 类型5　已知最值求参数范围【例5】　(1)已知函数f (x)＝2sin ωxcos2－sin2ωx在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)A．　　 B．C． D．(2)已知函数f (x)＝3sin(ωx＋φ)(其中ω>0，－π<φ<π)，若函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f ＝－f ，则实数φ的取值范围是__________．(1)B　(2)[(1)f (x)＝2sin ωxcos2－sin2ωx＝sin ωx－sin2ωx＝sin ωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sin ωx．因为f (x)在区间上是增函数，所以 解得ω≤，令ωx＝＋2kπ，k∈Z，因为在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以0≤≤π，所以ω≥，所以ω的取值范围是≤ω≤．故选B．(2)x∈时，函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f ＝－f ，故＝－＝，此时ω＝＝2，解得(2x＋φ)∈，函数f (x)在区间上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，故则－≤φ≤．]