2023新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的平行教师用书新人教A版选择性必修第一册

第2课时　空间中直线、平面的平行1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升数学运算及逻辑推理素养． 平行是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？知识点　空间中直线、平面平行的向量表达式位置关系向量表达式线线平行设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2线面平行设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0面面平行设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2(1)设直线l的方向向量为μ，向量a，b是平面α内的两个不共线向量，若l∥α，则向量μ，a，b有什么关系？(2)根据上述问题，试研究证明直线与平面平行的另一种方法．[提示]　(1)三向量共面，即μ＝xa＋yb．(2)若直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面，则直线与平面平行．(1)若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________．(2)若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________．(1)l∥β　(2)α∥β　[(1)由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β．(2)由v＝－4u知u∥v，所以α∥β．] 类型1　直线和直线平行【例1】　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS．[证明]　法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S．则，分别为MN，RS的方向向量，所以＝，＝，所以＝，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS．法二：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c．所以＝，所以∥．又R∉MN，所以MN∥RS．向量法证明直线平行的两种思路1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．[证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，E，N，M，所以＝(－1,0,1)，＝，所以＝，故MN∥AP．法二：由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，所以MN∥AP． 类型2　直线和平面平行【例2】　(对接教材P30例3)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1．问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．在棱PD上是否存在点E，可假设存在，从而＝λ，则λ的取值范围是什么？[解]　分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．∵PB与底面所成的角为45°，且PA⊥AB，∴PA＝AB＝1，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，A(0,0,0)，从而＝(0,2,0)，＝(－1，－1,1)，＝(0,2，－1)．假设在棱PD上存在符合题意的点E，则＝λ(0≤λ≤1)，则＝(0,2λ，－λ)，所以＝＋＝(－1,2λ－1,1－λ)．∵＝(0,2,0)是平面PAB的一个法向量，∴由CE∥平面PAB可得⊥，即·＝0，∴2λ－1＝0，解得λ＝，即＝．即存在点E为PD的中点时CE∥平面PAB．证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD．[证明]　法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n．又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．法二：＝－＝－＝(－)＝，所以∥，又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD．法三：＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－．即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD． 类型3　平面与平面平行【例3】　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，试用向量的方法证明平面ADE∥平面B1C1F．[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2)．同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，得解得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F．证明面面平行问题可用以下方法去证明：(1)转化为相应的线线平行或线面平行；(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法(2)，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．3．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1．[证明]　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形．因为ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°．取AF的中点M，连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD．以D为原点，DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)，所以∥，∥，所以DD1∥CC1，DA∥CF，因为DD1⊂平面AA1D1D，CC1⊄平面AA1D1D，所以CC1∥平面AA1D1D．因为DA⊂平面AA1D1D，CF⊄平面AA1D1D，所以CF∥平面AA1D1D．又CF∩CC1＝C，CF⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1．1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－3，－6,6)，则(　　)A．l1∥l2　　 B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直   D．不能确定A　[因为＝＝，所以a∥b．又直线l1，l2不重合，所以l1，l2平行．]2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(　　)A．l⊥α   B．l∥αC．l⊂α   D．l与α斜交B　[∵直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，∴a·b＝－4＋0＋4＝0，∴直线l在平面α内或者与平面α平行，又直线l上有一点P不在平面α上，∴l∥α．]3．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是(　　)A．(1,1,1)   B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1)   D．(1,1，－1)B　[因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合．]4．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1,2)，＝(x，－3,6)，若DE∥平面ABC，则x＝________．5　[设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则即①＋②得，2a＋3b＝0，令a＝3，则b＝－2，c＝－，∴n＝．∵DE∥平面ABC，∴·n＝0，∴3x＋(－3)×(－2)＋6×＝0，∴x＝5．]5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________．－8　[设a＝(2，m,1)，b＝．因为l∥α，所以a⊥b．于是a·b＝2＋m＋2＝0，则m＝－8．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两直线平行的向量表达式是什么？[提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2．2．直线和平面平行的向量表达式是什么？[提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0．3．平面和平面平行的向量表达式是什么？[提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2．4．证明线面平行有哪些方法？[提示]　①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．