2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(重点)2．能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题．(重点、难点)通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？知识点1　两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示1．(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？[提示]　(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线．1．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(α，6)，且l1∥l2，则α＝________．2　[由题意知l1⊥x轴，又l1∥l2，所以l2⊥x轴，故α＝2．]直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)，若l1⊥l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？知识点2　两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l22．“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？[提示]　不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．2．l1的斜率为－，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．－　[由条件l1⊥l2得－×＝－1，解得m＝－．] 类型1　两直线平行的判定及应用【例1】　(1)(对接教材P56例题)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．①l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；②l1的斜率为－，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；④l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)．(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．[解]　(1)①kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．②l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2．④由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1．所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB＝，kCD＝＝．由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝．解得m＝－2．经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2．判断两条不重合直线是否平行的步骤首先看两条直线的斜率，若都不存在，则平行；若都存在斜率，则看斜率是否相等，若相等，则平行，若不相等，则不平行．1．已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为(　　)A．1　　　B．0　　　C．0或1　　　D．0或2C　[法一：∵A(m,3)，B(2m，m＋4)，∴其方向向量为＝(m，m＋1)．∵C(m＋1,2)，D(1,0)，∴其方向向量为＝(－m，－2)，由直线AB与直线CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝0或m＝1．经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，故选C．法二：当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时AB∥CD，满足题意．当m≠0时，kAB＝＝，kCD＝＝，由题意得kAB＝kCD，即＝，解得m＝1或m＝0(舍去)．经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，∴m的值为0或1．故选C．] 类型2　两直线垂直的判定及应用【例2】　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直．①l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；②l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；③l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10，40)．(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]　(1)①k1＝＝2，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2．③由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2．(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a－2)，所以l2的斜率存在，设为k2．当k2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1⊥l2；当k2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k2＝－1，得·＝－1，解得a＝2．综上可知，a的值为5或2．利用斜率公式来判定两直线垂直的方法提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．2．已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]　∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3．(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1．∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB＝＝，kCD＝＝．∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即·＝－1，解得m＝1．综上，m的值为1或－1． 类型3　两条直线平行与垂直的综合应用【例3】　已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．如何利用直线的平行与垂直关系求点的坐标？[解]　①若∠A＝∠D＝90°，如图1，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．　　　图1　　　　　　　　　图2②若∠A＝∠B＝90°，如图2．设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝．由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3；由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1．解得故A．综上所述，A点坐标为(1，－1)或．关于直线平行与垂直的综合应用(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．3．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．[解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD．由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD．故四边形ABCD为直角梯形．1．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是(　　)A．　　　　B．－　　　　C．2　　　　D．－2B　[由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－．经检验知，m＝－符合题意．]2．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)A．   B．aC．－   D．－或不存在D　[由l1⊥l2，当a≠0时，kl2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D．]3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值是(　　)A．－    B．－    C．    D．A　[依题意得，－×k1＝－1，即k1＝＝，解得a＝－，故选A．]4．(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　)A．若l1∥l2，则k1＝k2B．若k1＝k2，则l1∥l2C．若l1∥l2，则α1＝α2D．若α1＝α2，则l1∥l2ABCD　[由题意知，两直线l1，l2的斜率存在，根据两直线平行，其斜率和倾斜角的关系知，A，B，C，D均正确．]5．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．－1　[若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意．故PQ斜率存在．由kPQ＝＝1，得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？[提示]　两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？[提示]　两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？[提示]　A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同．