2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.2　直线的方程2.2.1　直线的点斜式方程1．了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程．(难点)2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．(重点)3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．(难点、易错点)通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养． 我们知道，一点与一个方向可以确定一条直线．例如，如图所示，直线l经过点P(0,3)，且斜率k＝2，则直线l上的每个点在平面直角坐标系中的位置就被确定了．也就是说，对于直线l上不同于点P的每一个点，其坐标都和已知点P的坐标与斜率存在某种恒定的数量关系．那么，这一数量关系是什么呢？知识点1　直线的点斜式方程名称点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k示意图方程y－y0＝k(x－x0)使用范围斜率存在的直线1．(1)过点P(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线的方程是什么？(2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？[提示]　(1)过点P(x0，y0)，平行于x轴的直线的方程为y＝y0；过点P(x0，y0)平行于y轴的直线的方程为x＝x0．(2)不表示同一条直线，k＝表示去掉P(x0，y0)的一条直线，而y－y0＝k(x－x0)表示整条直线．1．(1)思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)①x轴所在直线的方程为x＝0．  (　　)②y轴所在直线的方程为y＝0．  (　　)③过点P(1,2)的所有直线都可表示为y－2＝k(x－1)． (　　)[答案]　①×　②×　③×(2)已知直线l的方程是y＋2＝－x－1，则直线l的斜率k＝________．[答案]　－1知识点2　直线的斜截式方程(1)直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b．符号：可正，可负，也可为零．(2)直线的斜截式方程名称斜截式已知条件斜率k和在y轴上的截距b示意图方程y＝kx＋b使用范围斜率存在的直线2．(1)截距是距离吗？(2)一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？[提示]　(1)不是．截距是直线与y轴交点的纵坐标，其值可正、可负也可以为零，而距离不能为负值．(2)一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k可以为0．2．已知直线l的方程为y＝－2x－2，则直线l在y轴上的截距b＝________．－2　[由直线的斜截式方程可知b＝－2．]知识点3　根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1．3．已知直线l1：y＝x＋2与l2：y＝－2ax＋1平行，则a＝________．－　[由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－．] 类型1　直线的点斜式方程【例1】　(对接教材P60例1)已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解]　(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1．(2)因为∠A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝，所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)．因为∠B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．试总结求直线的点斜式方程的步骤．[提示]　1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与y轴平行；(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[解]　(1)因为直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)直线与y轴平行，斜率不存在，其直线方程为x＝3．(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1．又因为直线过点P(－2,3)，所以直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)． 类型2　直线的斜截式方程【例2】　(1)倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l的斜率与直线y＝x－3的斜率相等，且直线l与x轴交点的横坐标比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程．(1)y＝x－5　[∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，设倾斜角为α，由tan α＝－，知α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝．又所求直线在y轴上的截距是－5，故所求直线方程为y＝x－5．](2)[解]　由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b(b≠0)．令y＝0得x＝－b，所以直线l与x轴交点的横坐标为－b，在y轴上的截距为b，由题意知－b－b＝1，解得b＝－，所以直线l的斜截式方程为y＝x－．求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．[解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b．由已知可得·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1．故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1． 类型3　利用斜截式方程求平行与垂直的条件【例3】　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？观察直线l1，l2的方程是不是斜截式方程，由此思考两直线平行或垂直满足的条件.[解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，∴解得a＝－1．故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝．故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2．(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．3．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．y＝－2x＋6　[因为直线l与直线y＝x＋4垂直，所以直线l的斜率k＝－2．又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y＝－2x＋6．]1．(多选题)下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是(　　)A．x＝3　　　 B．y＝－5C．2y＝x   D．y＝4x－1BD　[根据直线的斜截式方程的特点知，y＝－5，y＝4x－1是直线的斜截式方程，故选BD．]2．方程y＝k(x－2)表示(　　)A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线C　[直线过定点(2,0)，又直线斜率存在，则直线不垂直于x轴，故选C．]3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)A．k>0，b>0   B．k>0，b<0C．k<0，b>0   D．k<0，b<0B　[∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0．]4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为________．x＝3　[因为直线y＝x＋1的倾斜角是45°，所以直线l的倾斜角为90°，又直线l过点P(3,3)，所以直线的方程是x＝3．]5．已知两点A(－2,0)，B(0,4)，则线段AB的垂直平分线的方程为________．y－2＝－(x＋1)　[线段AB的中点坐标为(－1,2)，直线AB的斜率为＝2，所以，线段AB的垂直平分线的斜率为－，其方程为y－2＝－(x＋1)．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出直线的点斜式方程．[提示]　y－y0＝k(x－x0)．2．试写出直线的斜截式方程．[提示]　y＝kx＋b． 3．如何根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直？[提示]　对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2；l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．