2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.3.3　点到直线的距离公式2.3.4　两条平行直线间的距离1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．通过研究点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养．在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．(1)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？(2)如果利用一个向量在另一个向量上的投影，如何求点到直线的距离？知识点1　点到直线的距离(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．1．(1)在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？(2)点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离能否用点到直线的距离公式？有没有更简单的方法．[提示]　(1)直线方程应为一般式．(2)可以用点到直线的距离公式求解，也可以用下列方法求解：P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|．1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝________．　[d＝＝．]知识点2　两条平行直线间的距离(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．2．(1)在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？[提示]　(1)两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．(2)①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．2．两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．1C　[由两条平行直线的距离公式得：d＝＝．] 类型1　点到直线的距离【例1】　(1)点P(1，－2)到直线l：3x＝2的距离是(　　)A．1    B．    C．    D．2(2)(对接教材P77例题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)A．0或－   B．或－6C．－或   D．0或(3)已知点P(m，n)是直线2x＋y＋5＝0上任意一点，则的最小值为________．(1)B　(2)B　(3)　[(1)法一：点P(1，－2)到直线l的距离d＝＝．法二：点P(1，－2)到直线l的距离d＝＝．(2)依题意得＝，即|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，展开合并同类项得8m2＋44m－24＝0，即2m2＋11m－6＝0，解得m＝或m＝－6，故选B．(3)因为是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是的最小值．根据点到直线的距离公式可得d＝＝．故答案为．]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．1．(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离的最小值为(　　)A．4    B．2    C．4    D．3(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程为________．(1)D　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　[(1)点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离d＝＝≥＝3，∴d有最小值3，故选D．(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，d＝＝＝．所以|m－3|＝6，即m－3＝±6．得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0．] 类型2　两条平行线间的距离【例2】　(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)A．4   B．C．   D．(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．(1)D　[∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0，∴m＝2．∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0．法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝．法二：在l1上取一点M(0,3)，则点M到l2的距离d＝＝即为所求．](2)[解]　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0．若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5．求两条平行直线间的距离的两种思路(1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．2．(1)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程是________．(2)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－11＝0和l2：x＋y－1＝0上移动，则AB中点M所在直线的方程为________．(1)5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0　(2)x＋y－6＝0　[(1)设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0(C≠6)，由两平行直线间的距离公式，得＝2，解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．(2)由题意，得点M所在的直线与直线l1，l2平行，所以设为x＋y＋n＝0，此直线到直线l1和l2的距离相等，所以＝，解得n＝－6，所以所求直线的方程为x＋y－6＝0．] 类型3　利用距离公式解决最值问题【例3】　两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的取值范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．分别过两点的平行线的距离有没有最大值和最小值？[解]　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d≤3，即所求的d的取值范围是(0,3]．(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3．故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围．3．(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．[解]　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在的直线方程为y＝x．由解得∴点P的坐标为(2,2)．(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0． 类型4　对称问题(选讲内容)【例4】　已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得∴P′点坐标为(－2,7)．(2)解方程组得则点在所求直线上．在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则解得点M′也在所求直线上．由两点式得直线方程为＝，化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程．(3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4)．因为点E′，F′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为＝，即3x－y－17＝0．1．直线关于点的对称直线的求法方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程．2．点关于直线的对称点的求法(1)如图，已知P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来求：第一步，直线PP′和l垂直，故kPP′·kl＝－1；①第二步，PP′的中点刚好在直线l上，即点满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0．②联立①②式可以解出x′，y′．(2)常见的点关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下：点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)．4．如图，一束光线从原点O(0,0)发出，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．[解]　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3．由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3．由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8．1．(多选题)已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为(　　)A．1　　 　B．－1　 　　C．　　 　D．－CD　[由题意知＝1，即|a|＝，∴a＝±．]2．已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，则C＝(　　)A．9或21   B．－9或21C．9或－9   D．9或3B　[已知两条平行直线l1：3x－4y＋6＝0与l2：3x－4y＋C＝0间的距离为3，则两平行线间的距离为＝3，解得C＝21或C＝－9．故选B．]3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)A．    B．    C．    D．3B　[点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝．]4．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．2x－y＋1＝0　[设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝，解得m＝1．故所求直线方程为2x－y＋1＝0．]5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0　[设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0．则＝2，即|C－7|＝10．解得C＝－3或C＝17．故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出点到直线的距离公式．[提示]　点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝．2．试写出两条平行线间的距离公式．[提示]　两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．3．如何解决与距离有关的最值问题？[提示]　①利用对称转化为两点之间的距离问题．②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．