2023新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程教师用书新人教A版选择性必修第一册

2.4　圆的方程2.4.1　圆的标准方程1．会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．在平面几何的学习中，我们已经认识到圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长就是半径．在平面直角坐标系中，如何把圆的问题转化为数和方程的问题，用代数运算来求解呢？知识点1　圆的标准方程确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圆的方程吗？若方程表示圆，m满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？[提示]　当m＝0时，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示点(－a，－b)．当m≠0时，方程表示圆，此时圆的圆心为(－a，－b)，半径为|m|．1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D　[由圆的标准方程得，圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D．]知识点2　点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．位置关系d与r的大小点P的坐标的特点点在圆外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r22．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　)A．在圆上　　　　　　　 B．在圆外C．在圆内   D．以上都不对B　[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴点P(－2，－2)在圆外，故选B．] 类型1　求圆的标准方程【例1】　(对接教材P84例题)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的标准方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程．[解]　(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心，|AB|＝为半径．故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10．(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0．由解得即圆心的坐标是(3,2)．所以圆的半径r＝＝2．所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20．法二：设圆心坐标为(a，b)，半径为R(R>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2，由题意得解得所以所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20．求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程只需确定圆心C(a，b)和半径r，其求解方法：一是几何法，常用到中点坐标公式，两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线交点必为圆心等；”二是待定系数法，由三个独立的条件建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．1．求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，求△ABC的外接圆方程．[解]　(1)设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．(2)法一：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．法二：(几何法)易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． 类型2　点与圆的位置关系【例2】　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．点P在圆内　 B．点P在圆外C．点P在圆上   D．不确定(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________．(1)B　(2)[0,1)　[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外．(2)由题意知即解得0≤a<1．]试总结点与圆的位置关系的判断方法．[提示]　(1)几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r2的大小．2．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：(1)点A在圆的内部；(2)点A在圆上；(3)点A在圆的外部．[解]　(1)因为点A在圆的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不为0，解得a<－2.5．(2)因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5．(3)因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不为0，解得a>－2.5且a≠0．1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(　　)A．(－1,5)，　　 B．(1，－5)，C．(－1,5)，   D．(1，－5)，3B　[由圆的标准方程知，圆心坐标为(1，－5)，半径r＝，故选B．]2．圆心为(1,1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．]3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外   B．在圆内C．在圆上   D．不确定B　[由12＋32<24知，点P(1,3)在圆内，故选B．]4．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝6同心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．(x－2)2＋(y＋3)2＝25　[设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上得r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25．]5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．∪　[因为点P在圆外，所以(5a＋1－1)2＋(12a)2＞1，解得a＞或a＜－．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出圆的标准方程．[提示]　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？[提示]　点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．