2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的标准方程及性质的应用教师用书新人教A版选择性必修第一册

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养．2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养． 类比点与圆的位置关系，点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)有怎样的位置关系？知识点1　点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1．1．(1)点P(2,1)与椭圆＋＝1的位置关系是________．(2)若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________．(1)点P在椭圆外部　(2)(－，)　[(1)由＋>1知，点P(2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜．]知识点2　直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．(2)弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·，或|AB|＝·，其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．                             (　　)(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．               (　　)(3)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．                             (　　)[提示]　(1)√　根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．(2)×　因为P(b,0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．(3)√　直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． 类型1　直线与椭圆的位置关系【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．　①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144．(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．1．在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．[解]　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，所以k的取值范围为∪． 类型2　弦长和中点弦问题【例2】　过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横纵坐标之和可求，由此思考解决问题的方法.[解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝．又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16．两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0．于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．∴＝－＝－，即kAB＝－．又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴|AB|＝·[母题探究]1．本例中把条件改为“点M(2,1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解]　设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．由＋＝1和＋＝1，得＝－，∴k＝＝．又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝．所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝．2．把本例条件中“使弦被M点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程．[解]　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则∴＝－，从而kl＝＝．又kl＝kPM＝，∴＝．整理得x2＋4y2－2x－4y＝0．故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0．(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示]　①设点——设出弦的两端点坐标；②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．2．(1)已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．(2)已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．(1)x＋2y－3＝0　[法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k．设弦的两端点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②，①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．](2)[解]　因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．法一：解方程组得交点A(0，－2)，B，所以|AB|＝＝＝．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0．所以|AB|＝＝＝ 类型3　与弦长有关的最值、范围问题【例3】　(2021·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，－3)的直线l的斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．[解]　(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2．以四个顶点围成的四边形面积为4，故×2a×2b＝2ab＝4．联立解得故椭圆E的标准方程为＋＝1．(2)由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，设B(x1，y1)，C(x2，y2)．联立，消去y整理得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0，Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，故k＞1或k＜－1．由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－，y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝．直线AB的方程为y＋2＝x，令y＝－3，则x＝－，故点M．直线AC的方程为y＋2＝x，令y＝－3，则x＝－，故点N．|PM|＋|PN|＝＋＝＝＝＝＝|5k|≤15，即|k|≤3，解得－3≤k≤3．综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1,3]．求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．3．(2022·广东揭阳一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点A．设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一个动点(异于椭圆C的左、右顶点)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作椭圆C的切线l，过点F1作l的垂线，垂足为Q，求△QF1F2面积的最大值．[解]　(1)由椭圆C的离心率为＝，可得＝，即有a2＝4c2，再结合a，b，c三者的关系可得b2＝3c2．椭圆C的方程可化为＋＝1，将点A代入上述椭圆方程可得＋＝1，解得c2＝1，所以c＝1，a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．(2)设P(x0，y0)，则切线l的方程为＋＝1①，因为F1Q⊥l，所以直线F1Q的斜率为，故直线F1Q的方程为y＝(x＋1)②．设Q(s，t)，联立①②，解得t＝，又＋＝1，－2＜x0＜2，所以16y＋9x＝48－3x，从而t＝＝，变形得4y0＝t(4－x0)③，由＋＝1得12x＋(4y0)2＝48④．③代入④并化简，得(12＋t2)x－8t2x0＋16t2－48＝0，Δ＝64t4－64(12＋t2)(t2－3)＝－64×9(t2－4)≥0，解得－2≤t≤2，则S＝·|F1F2|·|yQ|＝|t|≤2，所以△QF1F2面积的最大值为2． 类型4　与椭圆有关的综合问题【例4】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．[解]　(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，则椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立⇒3x2－4mx＋2m2－2＝0，有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，即－<m<，x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，|AB|＝·＝·＝，以AB为直径的圆与y轴相切，可得半径r＝|AB|＝，即＝，解得m＝±∈(－，)，则m的值为±．解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．4．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝．由a2－b2＝c2得b2＝a2－c2＝2．∴所求椭圆的方程为＋＝1．(2)若存在点Q(m,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°，则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1＋k2＝0．依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．由，得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0．因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0．即(16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0，解得k2＜．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，令k1＋k2＝＋＝0，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0，当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0，化简得，＝0，所以m＝1．当k＝0时，也成立．所以存在点Q(1,0)，使得∠PQM＋∠PQN＝180°．1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)A．B．∪C．D．B　[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－．]2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)A．相离　　B．相切　　C．相交　　D．相交或相切A　[把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0．∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．]3．(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　)A．a－c＝m＋RB．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋nD．b＝ABD　[∵地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得(*)∴a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2．∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝，故D正确．]4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．　[由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤．]5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是________．　[最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]　三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．2．当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]　|AB|＝·＝·．3．如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]　①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．