2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质教师用书新人教A版选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)3．理解直线与双曲线的位置关系及判定方法．(难点)1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养．已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程完成下列任务：(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．知识点1　双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a　　　虚轴长：2b渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)(2)双曲线的中心和等轴双曲线①双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．②等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为．1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？[提示]　以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例．e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同． (　　)(2)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．                             (　　)(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　)(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线． (　　)[提示]　(1)√　双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的位置不一样，但是形状相同．(2)×　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x．(3)×　等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x．(4)√　等轴双曲线的离心率是．2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)经过点(，2)，且离心率为3，则它的虚轴长为________．4　[由题意可得解得因此，该双曲线的虚轴长2b＝4．]知识点2　直线与双曲线的位置关系将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0．Δ的取值位置关系交点个数k＝±时(此时m≠0)相交只有一个交点k≠±且Δ＞0有两个交点k≠±且Δ＝0相切只有一个交点k≠±且Δ＜0相离没有公共点2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？[提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交．3．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)A．1条    B．2条    C．3条    D．4条C　[根据双曲线方程可知，点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点(，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条．] 类型1　根据双曲线方程研究其几何性质【例1】　(对接教材P124例题)(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±x   D．y＝±x(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．(1)C　　[由e2＝1＋得＝1＋，∴＝，即＝，又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为y＝±x，故选C．](2)[解]　双曲线的方程化为标准形式是－＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c,0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|＝．(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．1．(1)若双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为(　　)A．    B．2    C．    D．(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x   B．y＝±xC．y＝±2x   D．y＝±x(1)D　(2)B　[(1)由题意得e2＝1＋，即1＋＝4，解得a＝，则实轴长为，故选D．(2)由已知可得2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x．故选B．] 类型2　由双曲线的几何性质求其标准方程【例2】　求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．[解]　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝．由题意得解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1．(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝．  ①∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1．  ②①②联立，无解．当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝．  ③∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1． ④联立③④，解得a2＝8，b2＝32．∴所求双曲线的标准方程为－＝1．法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．∴所求双曲线的标准方程为－＝1．1．由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．(2)与双曲线－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为－＝λ(λ＞0)或－＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．2．求适合下列条件的双曲线的方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．[解]　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1．(2)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1．由题意，得解得a2＝，b2＝4，所以双曲线的方程为－＝1．当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1．由题意，得解得a2＝－4，b2＝－(舍去)．综上所得，双曲线的方程为－＝1．法二：设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝，即－＝1． 类型3　双曲线的离心率【例3】　(1)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，点P(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A．(1,2]   B．(1,4]C．[2，＋∞)   D．[4，＋∞)(2)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为________．(1)B　(2)2　[(1)由题意，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0的距离d＝＝，∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则d≥1，∴≥1，即e＝≤4，又e＞1，故e的取值范围为(1,4]，故选B．(2)如图，A(a,0)．由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB＝＝3，则b2＝3ac－3a2．又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2．]结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．[提示]　(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解．(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．3．(1)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为(　　)A．(1,2)   B．(1,3)C．(3，＋∞)   D．(2,3)(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为________．(1)B　(2)2　[(1)在焦点△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理得：2|PF2|＝|PF1|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|得4a＋2a＞2c，∴e＜3，则1＜e＜3，故选B．(2)因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y＝±x，即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以b＝c，因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，所以离心率e＝＝2．] 类型4　直线与双曲线的位置关系【例4】　已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，你认为如何判断直线和双曲线的位置关系.[解]　(1)联立方程消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．∵直线与双曲线有两个不同的交点，则解得－＜k＜，且k≠±1．∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝．又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±．∴实数k的值为±或0．1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．2．双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论．4．已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．[解]　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝．∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－．当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴两式相减，得＝y－y，∴＝．∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2．∴kMN＝＝＝－．经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0．1．(多选题)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)A．实轴长为8　　 B．虚轴长为4C．焦距为6   D．离心率为ABD　[双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为．]2．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　)A．x2－y2＝8   B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8   D．y2－x2＝4A　[令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A．]3．焦点在x轴上，一条渐近线的方程为y＝x，虚轴长为4的双曲线的标准方程为(　　)A．－＝1   B．－＝1C．－＝1   D．－＝1A　[根据题意，要求双曲线的虚轴长2b＝4，即b＝2．又双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，所以＝，则a＝2．又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1．故选A．]4．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是________．　[由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，则圆心到直线的距离为d＝＝，则＝2，可得e＝＝．]5．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．±1　[由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0．设A(x1，y 1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又点(m,2m)在x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？[提示]　(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．2．离心率e和有怎样的关系？[提示]　e2＝1＋．3．如何用待定系数法设出与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程？[提示]　可设为－＝λ(λ≠0)．4．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？[提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝．