2023新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2第2课时抛物线的方程及性质的应用教师用书新人教A版选择性必修第一册

第2课时　抛物线的方程及性质的应用1．会解决与抛物线有关的轨迹问题和中点弦问题．(重点)2．能解决一些与抛物线有关的综合问题．(难点)通过解决与抛物线有关的综合问题，提升逻辑推理、数学运算素养．一条斜率为k的直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，类似的你还能得到其他结论吗？知识点　与抛物线有关的焦点弦的相关结论过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝；②|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)；③＋＝；④S△AOB＝(α为直线AB的倾斜角)；⑤以AB为直径的圆必与准线l相切．你能证明＋＝这个结论吗？[提示]　(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝．由得y2＝p2．∴y＝±p．从而|AF|＝|BF|＝p；所以＋＝．(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝k，由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，∴x1＋x2＝＝p＋，x1x2＝，∴＋＝＋＝＝＝＝＝，即＋＝．直线l过抛物线x2＝4y的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________．　[由＋＝得＋＝1，解得|BF|＝．] 类型1　和抛物线有关的轨迹问题【例1】　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大．(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值．[解]　(1)法一：(直接法)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝，∴＝y＋，化简得x2＝2y．故点P的轨迹方程为x2＝2y．法二：(定义法)由题意知，点P到定点M与直线y＝－的距离相等，则点P的轨迹是以点M为焦点，以直线y＝－为准线的抛物线，且p＝1．∴点p的轨迹方程为x2＝2y．(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2．∵|AB|＝·＝·＝2，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1．求与抛物线有关的轨迹方程的方法及步骤(1)方法：直接法、定义法、代入法(相关点法)及参数法；(2)步骤：①建系——建立适当的坐标系；②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式——列出动点P所满足的关系式；④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．1．若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．[解]　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1．因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1．又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R．所以|MC|＝d＋1．即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＋2＝0为准线的抛物线，且＝2，p＝4，故其方程为y2＝8x． 类型2　与抛物线弦的中点有关的问题【例2】　(1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．25(2)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．类比椭圆中弦的中点问题的解决方法，思考抛物线中弦的中点问题如何解决？(1)A　[由题意知，抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l过焦点F，所以kl＝＝，所以直线l的方程为y＝(x－2)．由得B点的坐标为．所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋＝．所以AB的中点到准线的距离为，故选A．](2)[解]　法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即＝4，∴kAB＝4．∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0．法二：(传统法)由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1．联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．由根与系数的关系得y1＋y2＝．又y1＋y2＝2，∴k＝4．∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0．“中点弦”问题的解决方法2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________．y2＝4x　x－y＝0　[由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有且x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，因为AB的中点为(2,2)，所以y1＋y2＝4，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0．] 类型3　与抛物线有关的综合问题【例3】　已知动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补．证明：直线AB的斜率为定值．[解]　(1)∵动圆经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线．∴曲线C的方程为y2＝4x．(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2．∵直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，∴l2的方程为y＝－k(x－1)＋2．联立得方程组消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0．设A(x1，y1)，则x1＝＝．同理，设B(x2，y2)，可得x2＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝＝．∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝．∴kAB＝＝－1．∴直线AB的斜率为定值－1．定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法：①通过方程判断；②对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；③利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；④转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．3．已知抛物线的方程是y2＝4x，直线l交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)若弦AB的中点为(3,3)，求直线l的方程；(2)若y1y2＝－12，求证：直线l过定点．[解]　(1)因为抛物线的方程为y2＝4x，则有y＝4x1，y＝4x2，因为弦AB的中点为(3,3)，所以x1≠x2．两式相减得y－y＝4x1－4x2，所以＝＝，所以直线l的方程为y－3＝(x－3)，即y＝x＋1．(2)证明：当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，整理，得ky2－4y＋4b＝0，y1y2＝＝－12，b＝－3k，l的方程为y＝kx－3k＝k(x－3)，过定点(3,0)．当l的斜率不存在时，y1y2＝－12，则x1＝x2＝3，l过定点(3,0)．综上，l过定点(3,0)．1．(多选题)已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于(　　)A．2    B．－2    C．－4    D．4CD　[由y＝知F(0,2)，|AF|＝y0＋2，由|AF|＝2y0＝y0＋2得y0＝2，所以x＝16，解得x0＝±4，故选CD．]2．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A．y2＝12x   B．y2＝－12xC．x2＝12y   D．x2＝－12yA　[设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x．]3．已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点(　　)A．(－6，0)   B．(－3，0)C．(－2，0)   D．(－，0)C　[设直线l为x＝my＋n，联立消去x可得y2－6my－6n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－6n，因为k1·k2＝，即·＝，所以＝＝＝，所以n＝－2，所以x＝my－2，所以直线l一定过点(－2，0)．]4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．(4,2)　[由得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)．]5．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是．y2＝4x　[由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．解决和抛物线有关的问题，有哪些方法？[提示]　直接法、定义法．2．如何解决定点定值问题？[提示]　①欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．②寻求一条直线经过某个定点的常用方法：a．通过方程判断；b．对参数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上；c．利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；d．转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．