高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和第2课时导学案

第2课时　等差数列的前n项和(二)

题型一　等差数列前n项和公式的实际应用

例1　一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．

(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？

(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，则这支车队当天一共行驶了多少路程？

方法归纳

(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：

①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．

②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.

跟踪训练1　植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，若使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则此最小值为________米．

题型二　利用Sn求an

例2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－8n＋10，求通项公式an，并判断数列是否为等差数列；

(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝－1，求其通项公式an.

方法归纳

利用Sn求an的方法

已知数列{an}的前n项和求通项公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须注意它成立的条件是n≥2，除此之外还要注意以下几点：

(1)求a1时不能使用an＝Sn－Sn－1，因为S0在数列前n项和中无意义，而应该是a1＝S1;

(2)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若恰好a1＝S1，则an＝Sn－Sn－1就是其通项公式；

(3)由an＝Sn－Sn－1求得的an，代入n＝1时，若a1≠S1，则数列的通项公式就用分段的形式来表示，即an＝

跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求该数列的通项公式．

题型三　利用an与Sn的关系求解数列问题

例3　已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且8Sn＝(an＋2)2.

(1)求证：{an}为等差数列；

(2)求{an}的通项公式.

方法归纳

在给出数列的an与Sn的关系式时，可根据an＝Sn－Sn－1(n≥2)将关系式中的Sn(或an)消去，从而求得an与an－1(或Sn与Sn－1)的关系，然后借助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.

跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求{an}的通项公式．

[课堂十分钟]

1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)

A．15    B．16

C．49    D．64

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则其通项公式为(　　)

A．an＝2nB．an＝2n－1

C．an＝2n＋1D．an＝2n－1－1

3．据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是(　　)

A．10分钟    B．13分钟

C．15分钟    D．20分钟

4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1(n∈N＋)．求{an}的通项公式．

第2课时　等差数列的前n项和(二)

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：由题意，知第1辆车休息时行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.

(1)因为a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.

(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15＝2 550 (min)＝ h，所以这支车队当天一共行驶的路程为×60＝2 550 (km)．

跟踪训练1　解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000米．

答案：2 000

题型二

例2　解析：(1)当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－8(n－1)＋10＝2n2－12n＋20,

∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－8n＋10－2n2＋12n－20＝4n－10.

当n＝1时，a1＝S1＝2－8＋10＝4,

而4×1－10＝－6≠4，∴an＝

∵当n≥2时，an－an－1＝4n－10－4(n－1)＋10＝4,

∴数列{an}从第2项起构成等差数列，但{an}不是等差数列.

(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝

＝－＝·－

＝－·，

当n＝1时，a1＝S1＝－1＝－，

而－·＝－，

所以an＝－·(n∈N＋)．

跟踪训练2　解析：当n＝1时，a1＝－；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－3n＋

又∵a1＝－适合上式

∴an＝－3n＋.

题型三

例3　解析：(1)证明：因为8Sn＝(an＋2)2,

所以当n≥2时，8Sn－1＝(an－1＋2)2,

两式相减得，8an＝

－4an－4an－1＝0.

所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.

又因为{an}为正项数列，所以an＋an－1≠0,

从而an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4,

故{an}是公差为4的等差数列.

(2)解：当n＝1时，得8S1＝(a1＋2)2,

即8a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2,

所以{an}的通项公式an＝2＋(n－1)×4，即an＝4n－2.

跟踪训练3　解析：(1)∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0，

∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0.

∵Sn≠0，两边同除以SnSn－1，得

＋2＝0，即＝2(n≥2)．

∴数列是等差数列．

(2)∵a1＝1，＝＝1，

∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－.

而－＝2≠1，故{an}的通项公式为

an＝

[课堂十分钟]

1．解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15.

故选A.

答案：A

2．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N＋).

故选B.

答案：B

3．解析：由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等差数列，设第n分钟后通过的路程为an，则a1＝2，公差d＝2，an＝2n，Sn＝·n＝240.

解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.

答案：C

4．解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)，所以相遇是在开始运动后7分钟．

答案：7

5．解析：当n＝2时，S2＝a1＋a2＝a2＋22－1，即a1＝3，当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，

两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1.又因为a1＝3适合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.