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新教材2023版高中数学章末复习课2第二章导数及其应用学案北师大版选择性必修第二册
展开这是一份新教材2023版高中数学章末复习课2第二章导数及其应用学案北师大版选择性必修第二册,共8页。
章末复习课考点一 导数几何意义的应用1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.2.通过对求切线方程的考查,提升学生的数学抽象、数学运算素养.例1 已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.跟踪训练1 设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a>0),直线l是曲线y=f(x)的一条切线,当l的斜率最小时,直线l与直线10x+y=6平行.(1)求a的值;(2)求f(x)在x=3处的切线方程.考点二 利用导数研究函数的单调性1.借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有ln x,ex,-x3等线性函数(或复合函数)的单调性,是近几年高考的一个重点.其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定;经常同一元二次方程、一元二次不等式结合,融分类讨论、数形结合于一体.2.通过对函数单调性的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例2 设函数f(x)=a ln x+,a为常数,讨论函数f(x)的单调性.跟踪训练2 已知a∈R,求函数f(x)=2x2eax的单调区间.考点三 利用导数研究函数的极值和最值1.函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质;函数的最值是个整体性概念,最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值.2.利用导数求极值和最值主要有两类题型:一类是给出具体的函数,直接利用求极值或最值的步骤进行求解;另一类是已知极值或最值,求参数的值.3.通过对函数极值和最值的考查,提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养.例3 设a>0且a≠1,函数f(x)=x2-(a+1)x+a ln x.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率;(2)求函数f(x)的极值点.跟踪训练3 已知函数f(x)=ln x-(m∈R).(1)当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上取得最小值4,求m的值.考点四 利用导数研究方程、不等式等综合问题1.用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等;用导数研究方程问题,主要是指根据方程构造函数,然后利用导数,研究得到函数的单调性、极值、最值,从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题.这是导数的重要应用之一,也是高考的重点和热点内容.2.通过对以上知识的综合考查,提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养.例4 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求f(x)的极值点;(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根,求实数a的取值范围;(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.跟踪训练4 已知函数f(x)=ex+,a∈R,试讨论函数f(x)的零点个数.章末复习课考点聚集·分类突破例1 解析:(1)∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)法一 设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=∴直线l的方程为(x-x0)++x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(-x0)++x0-16.整理得=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).法二 设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k==,又∵k=f′(x0)==+1.解得,x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).跟踪训练1 解析:(1)f′(x)=x2+2ax-9=(x+a)2-a2-9,f′(x)min=-a2-9,由题意知-a2-9=-10,∴a=1或a=-1(舍去).故a=1.(2)由(1)得a=1,∴f′(x)=x2+2x-9,则k=f′(3)=6,f(3)=-10.∴f(x)在x=3处的切线方程为y+10=6(x-3),即6x-y-28=0.例2 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)==.当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),①当a=-时,Δ=0,f′(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-0.设x1,x2(x1
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