北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值导学案及答案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值导学案及答案，共13页。
6．2　函数的极值

[教材要点]
要点　极值点与极植
1．极大值点与极大值

如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值________________x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的________．
2．极小值点与极小值

如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值________________x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的________．
3．极值的判断方法
如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是____________，f(x0)是________；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是____________，f(x0)是________．

状元随笔　(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况．
(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点．
(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
(4)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．

[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．(　　)
(2)导数为零的点一定是极值点．(　　)
(3)函数的极大值一定大于极小值．(　　)
(4)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　)
2．(多选题)下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列命题中正确的是(　　)

A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
D．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
3．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是(　　)
A．极大值点x＝－1 B．极大值点x＝0
C．极小值点x＝0 D．极小值点x＝1
4．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则m＝__________．



题型一　求函数的极值(点)
例1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
(2)求下列函数的极值：
①f(x)＝x3－x2－3x；
②f(x)＝x4－4x3＋5；
③f(x)＝.



方法归纳
(1)求函数极值的步骤

(2)求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．



跟踪训练1　(1)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)
B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．x＝－2是函数的极小值点
D．x＝2是函数的极小值点
(2)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1


题型二　与参数有关的极值问题
角度1　已知函数极值求参数
例2　设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．






状元随笔　由条件可知f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，且f(1)＝－1，因此可构造关于a，b，c的方程组求出a，b，c的值，确定函数解析式后判断x＝1和x＝－1分别是极大值点还是极小值点．


方法归纳
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．


角度2　已知函数极值点，求参数范围
例3　函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．


变式探究1　本例条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有一正一负两个极值点”，则实数a的取值范围如何？







变式探究2　本例中的条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值点”，则实数a的取值范围如何？







变式探究3　本例条件“函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点”改为“函数f(x)＝－x(ln x－1)有两个不同的极值点”，则实数a的取值范围又如何？






方法归纳
(1)已知函数极值点的个数求参数取值范围的一般思路：求导后分离参数，转化为直线与曲线的交点问题．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．



跟踪训练2　(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________．
(2)若函数f(x)＝x2＋a ln x在区间(1，＋∞)上存在极小值，则实数a的取值范围为________．


题型三　函数极值的综合应用
例4　已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．



状元随笔　f ′(x)的零点个数及零点大小与a的取值有关，应对a分类讨论






方法归纳
求解析式中含有参数的函数极值，有时需要用分类讨论法才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．



跟踪训练3　设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．








易错辨析　对函数取极值的充要条件把握不准致误
例5　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得
即
解得或
当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
显然函数f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，此时f(2)＝18.
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时f(x)没有极值，不符合题意．
综上可知，f(2)＝18.
答案：18

【易错警示】
出错原因
纠错心得
认为f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充要条件，得到
或，
事实上，当a＝－3，b＝3时，
f(x)没有极值，从而得到错误答案．
一般地，若f′(x0)＝0，且f′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f(x)在x＝x0处存在极值；若f′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f(x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，检验每一组解对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍．

[课堂十分钟]
1．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝(　　)
A．－2　　　　　B．2
C．0 D．1
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1