天津市部分区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

天津市部分区2022～2023学年度第二学期期中练习

高一数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时10分钟．

第Ⅰ卷

参考公式：

·圆柱的体积公式，其中S表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．

·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．

·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．

·球的表面积公式，其中表示球的半径．

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用向量减法的坐标公式计算即可.

【详解】

故选：C

2. 已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（    ）

A. π B. 2π C. 4π D. 12π

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知，球直径为正方体的体对角线，求出求半径，代入球的表面积公式即可求解.

【详解】设该球的半径为，由题意可知，该球的直径为棱长为2的正方体的体对角线，

则，所以，

则该球的表面积，

故选：D.

3. 在中，角 ，，所对的边分别为，，．若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理即可求得答案.

【详解】由余弦定理可得，

由于，故，

故选：A

4. 已知点，，向量，若，则实数的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量坐标表示及向量数量积的坐标表示即得.

【详解】由，，可得，又，

所以，

所以．

故选：C．

5. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】A

【解析】

分析】由已知及正弦定理可求，利用大边对大角可知，从而得出结果．

【详解】∵，

∴由正弦定理可得：，

，，.

故选：A．

6. 已知向量，，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案.

【详解】由题意向量，，故，

则在上的投影向量为，

故选：D

7. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（    ）

A. π B. 2π C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.

【详解】已知底面圆的半径，由，则，

故该陀螺的体积.

故选：C

8. 已知向量，，若与方向相反，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量共线的坐标表示求得m的值，再根据向量模的坐标计算，可得答案.

【详解】由题意向量，，与方向相反，

则且，故，

所以，，所以，

故选：B

9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值.

【详解】，，

由正弦定理得，

，，

，

，.

，，当且仅当时取等号.

，

.

.

故选：D

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．

10. i是虚数单位，复数______．

【答案】

【解析】

【分析】利用复数的除法运算即可求解.

【详解】复数，

故答案为：.

11. 直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据线面位置关系的符号表示，可得答案.

【详解】由题意直线上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内，

故用符号表示为，

故答案为：

12. 若、、三点共线，则______．

【答案】

【解析】

【分析】分析可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值.

【详解】因为、、三点共线，则，

且，，所以，，整理可得.

故答案为：.

13. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.

【详解】

如图，以点D为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

则，，，

因此，异面直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

14. 在中，角，，所对边分别为，，．已知，则______，若，则外接圆的半径为______．

【答案】    ①     ②.

【解析】

【分析】根据余弦定理求出角；利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.

【详解】因为，在中，由余弦定理可得，

，因为，所以；

若，设外接圆的半径为，

在中，由正弦定理可得，，解得，

故答案为：；.

15. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，，则______；若为线段上的动点，则的最小值为______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得的坐标，根据数量积的坐标运算，求得；设，表示出的表达式，结合二次函数性质求得的最小值.

【详解】如图，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，

∴，

∵E是对角线上一点，且，可得，

∴，，

∴；

 因为点F为线段（含端点）上的动点，则设,

故，

所以，，

故，

由于，所以时，取到最小值，

即的最小值为，

故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 已知向量，满足，，与的夹角为．

（1）求的值；

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将平方求模长；

（2）根据垂直关系的向量表示求解.

【小问1详解】

，

，

.

【小问2详解】

由得

，

解得：.

17. 如图，三棱锥的底面的侧面都是边长为2的等边三角形，，分别是，的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）证明平面，求得的长，根据三棱锥的体积公式即可求得答案.

【小问1详解】

因为分别是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

【小问2详解】

因为是等边三角形，D是的中点，

所以，

因为，

又平面，

所以平面，

因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，

所以，，

所以.

18. 在中，角、、所对的边分别为、、．已知，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理求出的值，分析可知为锐角，即可求得角的值；

（2）求出的值，利用正弦定理可求得的值.

【小问1详解】

解：在中，，，，

由正弦定理可得，

因为，则为锐角，故.

【小问2详解】

解：由（1）可知，，

所以，，

由正弦定理可得.

19. 如图，在长方形中，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明过程见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证；

（2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可.

【小问1详解】

在长方体中，,,，平面，

平面，平面，，

又，可得,，平面，

平面.

平面，.

【小问2详解】

记交于点，连接，

由（1）得平面，

所以为斜线在平面上的射影，

为与平面所成的角.     

在长方体中，,，

在中，，，   

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20. 在中，角，，所对的分别为，，．向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，求的面积

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示可得，结合正弦定理边化角以及同角三角函数关系即可求得答案；

（2）由余弦定理可求得c，利用三角形面积公式即可求得答案.

【小问1详解】

因为，，且，

所以，

由正弦定理，得，

又，，从而，

因为，所以.

【小问2详解】

由余弦定理，得，

而,,，得，即，

因为，所以，

故的面积.