天津市河北区2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

河北区2022-2023学年度第二学期期末高二年级质量检测

数学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据分布列的性质，得到，即可求解.

【详解】由分布列的性质，可得，解得.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.

3. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件及必要条件的定义来判断即得．

【详解】由可得，或，

∴“”是“”的充分不必要条件.

故选：A．

4. 在某校举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩分为5组：，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，已知内的频数是40，则成绩在的学生人数是（    ）

A. 25 B. 20 C. 18 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】利用频率分布直方图的相关公式计算即可.

【详解】依题意，设学生总人数为，

因为的频数是，所以，解得，

则成绩在的学生人数是.

故选：D.

5. 函数的图象大致是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性及零点个数排除即可.

【详解】易知的定义域为，且,

所以函数为奇函数，故排除AB.

令，可得,解得,

所以在上只有一个零点，故排除C,

故D正确.

故选:D.

6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数与对数函数的单调性，结合换底公式与中间值法即可判断大小.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：A.

7. 已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，把三棱锥可补形为一个棱长为的正方体，结合正方体求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积，即可求解.

【详解】由题意，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，

此三棱锥可补形为一个棱长为的正方体，

三棱锥外接球与补成的棱长为的正方体的外接球为同一个球，

设正方体的外接球的半径为，可得，即，

所以此三棱锥的外接球的表面积为.

故选：C.

8. 若随机变量服从二项分布，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项分布的概率公式求解即可.

【详解】因为随机变量服从二项分布，

所以.

故选：C

9. 在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出“第一次摸到红球”的概率，再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，借助条件概率公式计算即可．

【详解】先求出“第一次摸到红球”的概率为：，

设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是，

再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为，

根据条件概率公式，得：，

故选：D.

10. 将函数，的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A. 是最小正周期为的奇函数

B. 是最小正周期为的偶函数

C. 在上单调递减

D. 在上的最小值为

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角恒等变换可得,由正弦型函数的图象变换可得，根据余弦函数的图象与性质逐项判断即可.

【详解】，

将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.

对于A，,所以是偶函数，故A错误；

对于B，的最小正周期为,故B错误；

对于C，当，,

所以在上不单调，故C错误；

对于D，时，,所以,所以,

所以在上最小值为，故D正确.

故选:D.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.

11. ｉ是虚数单位，复数________________.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数乘除法运算，即可解决.

【详解】故答案为

【点睛】本题考查复数乘除法运算，属于基础题.

12. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．

解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，

可得np=30，npq=20，q=，则p=，

故答案为．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．

13. 已知，，且，则的最小值为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】先利用指数的运算与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为，所以，即，

则，所以，

又，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

则的最小值为.

故答案：.

14. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.

【答案】

【解析】

【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，

AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算

即可求出向量的数量积.

【详解】解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.

∵AB＝，BC＝2，

∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，

∵点E在边CD上，且＝2，

∴E∴＝，＝，

∴.

15. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，作出函数的图象，由图可得，由、为的两根可得，由二次函数的对称性可得即可求解.

【详解】作出函数的图象，

由图知当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

令，

若存在，使得，由图可得，

由即，所以，

因为函数的对称轴为，所以，

所以，

故答案为：.

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 如图，在三棱柱中，平面，侧面为矩形，分别为，的中点，

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）先证得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得证；

（2）利用线面垂直的性质定理与判定定理即可得证.

【小问1详解】

在三棱柱中，，且，

因为点分别是棱的中点，所以，且，

所以四边形是平行四边形，则，

又平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

因为平面，平面，所以，

因为侧面为矩形，所以，

又平面，平面，

所以平面.

17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求的值；

（2）若，且的面积为，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角恒等变换求得，由此得解；

（2）利用（1）的结论求得，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可得解．

【小问1详解】

因为，

所以由正弦定理得，

即，

因为，则，所以.

【小问2详解】

由（1）知，

又，所以，

因为的面积为，

所以，得，

又，所以由，得，

所以，即，

又，所以.

18. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.

（1）求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率；

（2）用表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量的分布列及均值.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式可得答案；

（2）依题意得到的取值，再依次求得对应的概率，从而得解．

【小问1详解】

依题意，3个白球记为，2个红球记为，

则从中摸出2个球的基本事件有，共10件；

其中恰有1个白球和1个红球的基本事件有，共6件；

记“摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球”，则，

摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.

【小问2详解】

依题意，表示摸出的2个球中的白球个数，则的可能取值为，

，，，

则的分布列为

所以.

19. 我国承诺2030年前达到“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为p，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响.

（1）求p取何值时，丙队进入决赛的概率最大；

（2）在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数X的分布列及均值.

【答案】（1）；   

（2）分布列答案见解析，数学期望：.

【解析】

【分析】（1）由概率的乘法公式可得，再由二次函数知识可求解；

（2）由二项分布可求解.

【小问1详解】

由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，

又因为，所以.

所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为.

【小问2详解】

由（1）知：

甲､乙､丙三队进入决赛的概率均为，

因为进入决赛的队伍数，

所以；

；

；

.

所以，随机变量X的分布列为

所以，.