天津市南开区2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

这是一份天津市南开区2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度第二学期阶段性质量监测
高二数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟.
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1. 若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用列举法表示全集，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】依题意，，而，，
则，
所以.
故选：A
2. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为 解得或，
所以“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：B
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案.
【详解】由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；
由，，
所以，即可排除D.
故选：A
4. 若，，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出，再构造函数，比较出，从而得到答案.
【详解】，，，
故，
又，，
令，，
，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
所以，
则在上恒成立，
则在上单调递减，
故，
所以
故选：D
5. 甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件“甲选择农夫山泉”，事件“甲和乙选择的饮品不同”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率公式求解即可．
【详解】解：事件“甲选择农夫山泉”，则
事件“甲和乙选择的饮品不同”，
则事件=“甲选择农夫山泉，乙选择的是加多宝或者雪碧”
所以
所以，
故选：D
6. 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　）
A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强

B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强

C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的知识确定正确选项.
【详解】依题意：，
所以正相关，负相关，
，所以的线性相关性较强.
故选：C
7. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.
【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知.
由全概率公式得
。
故选：C
8. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数（天）
3
4
5
6
繁殖个数（千个）
2.5
3

4.5
由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为
A. 4.9 B. 5.25
C. 5.95 D. 6.15
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为，代入回归直线方程，求得，得到回归直线的方程为，即可作出预测，得到答案．
【详解】由题意，根据表格中的数据，可得，
即样本中心为，代入回归直线方程，即，
解得，即回归直线的方程为，
当时，，故选B．
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　）

A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用．
点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．
10. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.
【详解】由，得且函数关于点对称．
由对任意，，均有，
可知函数在上单调递增．
又因为函数的定义域为R，
所以函数在R上单调递增．
因为a，b为关于x的方程的两个解，
所以，解得，
且，即．
又，
令，则，
则由，得，
所以．
综上，t 的取值范围是.
故选：D．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11. 6的二项展开式中的常数项为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，令的指数等于零，即可得出答案.
【详解】解：6的二项展开式的通项为，
令，则，
所以6的二项展开式中的常数项为.
故答案为：60.
12. 计算：____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则结合换底公式求解.
【详解】因为
，
所以.
故答案为：.
13. 某品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为________．
【答案】0.4##
【解析】
【分析】易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案
【详解】由题意知，，
∴
∴正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
∴，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4，
故答案为：0.4
14. 已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解.
【详解】取出的2个球共有种，
若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；
可得同色球共有种，
所以取出的2个球为同色球的概率为.
故答案为：.
15. 函数的最小值为____________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由，根据基本不等式，
得，
当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为4.
故答案为：4
三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值a，b，c满足.
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式中各项的系数和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合二项展开式的通项公式求得，进而可得展开式的第四项；
（2）利用赋值法，令，求各项系数之和.
小问1详解】
因为的展开式为，
由题意可知：，，，且，，
则，即，解得或（舍去），
第四项.
【小问2详解】
由（1）可得二项式，
令，得展开式各项系数的和为.
17. 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为.
（1）求白球的个数m；
（2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）由条件概率公式可得，解方程即可得出答案；
（2）求出随机变量X的可能取值及对应的概率，再由期望公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，
设第一个取出的球是红球为事件，第二个取出的球是白球为事件，
所以
所以，解得.
【小问2详解】
由题意，随机变量X可能为0，1，2，
则，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P



则期望为.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线的方程.
（2）若直线为曲线的切线，且经过坐标原点，求直线的方程及切点坐标.
【答案】(1) ；(2) 直线的方程为，切点坐标为.
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得结果，（2）设切点，根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，再根据切线过坐标原点解得结果.
【详解】（1）.
所以在点处的切线的斜率，
∴切线的方程为；
（2）设切点为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
所以又直线过点，
∴，
整理，得，∴，
∴，的斜率，
∴直线的方程为，切点坐标为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
19. 甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.
（1）求的概率；
（2）求甲队和乙队得分之和为4的的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；
（2）由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案.
【小问1详解】
，则甲队有两人答对，一人答错，
故.
【小问2详解】
设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则.
，
，
，，
，
∴
.
20. 已知是函数的一个极值点.
（1）求a；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有3个零点，求b的取值范围.
【答案】（1）16 （2）单调递增增区间是，；单调递减区间是
（3）
【解析】
【分析】（1）由极值点，有，可解得a；
（2）利用导数求函数的单调区间；
（3）利用函数单调性和极值，数形结合求b的取值范围.
【小问1详解】
，
因为是函数的一个极值点.
所以，解得,经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，.
，
令，得，.
和随x的变化情况如下：














极大值

极小值

的增区间是和；减区间是.
【小问3详解】
由（2）知，的极大值为，极小值为.
因为，，
所以.
因为，，
所以.
函数图像如图所示，

当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点，
值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为.