广西壮族自治区河池市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

河池市2023年春季学期高一年级期末教学质量检测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置，

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

4.本卷主要考查内容：必修第二册。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，则

A.-1   B.    C.    D.1

2.在中，已知，，，则

A.    B.    C.    D.1

3.在北京冬奥会期间，共有1.8万多名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生10人，则该高校抽取的志愿者总人数为

A.100   B.150   C.200   D.250

4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是

A.若，，则   B.若，，则

C.若，，则    D.若，，则

5.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则

A.事件1与事件3互斥    B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥    D.事件3与事件4互为对立事件

6.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每2次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为

A.    B.    C.    D.

7.将半径为4，圆心角为的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的内切球的表面积为

A.    B.    C.    D.

8.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为

A.    B.    C.    D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：

67  57  37  40  46  62  31  47  31  30

则这组数据的

A.众数是31   B.中位数是40

C.极差是37   D.10%分位数是30.5

10.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中

A.    B.

C.向量与垂直   D.

11.一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则

A.    B.    C.    D.

12.如图，正方体的棱长为2，动点M在侧面内运动（含边界），且，则

A.点M的轨迹长度为

B.三棱锥的体积不为定值

C. 的最小值为

D. 取最小值时三棱锥的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. _________.

14.如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________.

15.若一组数据m，n，9，8，10的平均数为9，方差为2，则________.

16.已知的外接圆的圆心为O，半径为1，，在上的投影向量为，则的值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

（1）若，，求的值；

（2）若，求角B，C的大小.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且.

（1）求证：平面PEC；

（2）求证：平面PCD.

19.（本小题满分12分）

设，向量，，，且，.

（1）求；

（2）求向量与夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：

（1）估计田径队测试的平均成绩；

（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做领队，求领队来自不同队伍的概率.

21.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，.

（1）求证：；

（2）求与平面所成的角的大小.

22.（本小题满分12分）

2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛.比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场进行.某学校的足球协会举办了足球知识考试，试卷中3只有两道题目.已知小张同学答对每道题的概率为，小李同学答对每道题的概率为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.若两人答对题目数相同的概率为.

（1）求的值；

（2）求两人共答对两道题的概率.

河池市2023年春季学期高一年级期末教学质量检测·数学

参考答案、提示及评分细则

1.B由，得，所以.故选B.

2.C由正弦定理可得.故选C.

3.D根据题意知分层抽样比例为，所以该高校抽取的志愿者总人数为.故选D.

4.C对选项A，若，，则与的位置关系是平行或者异面，故A错误；

对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误；

对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确；

对选项D，若，，则与的位置关系是平行或者包含，故D错误.故选C.

5.D事件1可表示为：，事件2可表示为：，

事件3可表示为：，事件4可表示为：，

因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为为不可能事件，不为必然事件，B错误；

因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；

因为为不可能事件，为必然事件，所以事件3与事件4互为对立事件，D正确.故选D.

6.C设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，

则，且.

因为A，B，C两两互斥，

所以.故选C.

7.C设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意可得，由，所以.

因为，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，

该等边三角形（如图）的内切圆半径为圆锥内切球半径，

而等边三角形的边长为4，故，故.故选C.

8.A设向量，的夹角为，因为，所以，则，即恒成立.所以，解得，故，的夹角的取值范围是.故选A.

9.ACD这组数据中31出现了2次，出现次数最多，因此众数是31，A正确；

从小到大排列10个数据分别为30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，

第5位和第6位为40和46，因此中位数是43，B错误；

最大值为67，最小值为30，因此极差为67-30=37，C正确；

10×10%=1是整数，10%分位数应取第1位与第2位的平均值，即30和31的平均值30.5，D正确.故选ACD.

10.AB对于A，对向量，进行平移，使得与构成三角形，所以A正确，

对于B，因为，所以B正确，

对于C，平移向量，使得，共起点，所以C错误，

对于D，因为，所以D错误.故选AB.

11.ABD方案一：“选到3号球”的概率

方案二：“选到3号球”的概率

方案三：同时摸出两个球共有：{1，2}，{1，3}，{2，3}共3个基本事件，“选到3号球”包含{1，3}，{2，3}共22个基本事件，“选到3号球”的概率

∴，，，，ABD正确，C错误.故选ABD.

12.ACD如图，因为平面，平面，所以，

因为，，平面，

所以平面，平面，所以，

若，则点M的轨迹为，因为正方体的棱长为2，

所以点的轨迹长度为，故A正确；

三棱锥就是三棱锥，底面积和高都不变，因此体积不变，故B错误；

将平面翻折到与平面重合，如图，

此时A，M，B三点共线，取得最小值AB，是边长为的等边三角形，

是边长为2的等腰直角三角形，且M是的中点，

所以，，取得最小值为，故C正确.

，设M到平面ABCD的距离为h，由三角形面积相等，

有，则，于是，故D正确.故选ACD.

13.

，∴.

14.路

由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；由图②可得，第1，2，3，4，5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”.

15.4根据题意得平均数，

方差，

所以，，解得或所以.

16.1∵，则O为BC的中点，

注意到的外接圆的圆心为O，

故BC是外接圆的直径，即，

则在上的投影向量为，

可得，即，

∵，

∴.

17.解：（1）根据余弦定理，，，，

解得；

（2）因为，，

因此得到，则，

即，所以，因此三角形为等腰三角形，

又知道，所以.

18.解：（1）设G是PC的中点，由于F是PD的中点，所以，，

由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，所以，，

所以，，所以四边形AFGE是平行四边形，所以，

因为平面PEC，平面PEC，所以平面PEC；

（2）由于平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为，，平面PAD，所以平面PAD，

因为平面PAD，所以，因为，F是PD的中点，

所以，

因为，平面PCD，所以平面PCD.

19.解：（1）向量，，，且，，

可得且，解得，，

即，，则，

则；

（2）因为，，

所以，

设向量与夹角为，

则.

20.解：（1）由田径队的频率分布直方图得：，

解得.

其中“田径队”的平均成绩为：

，

（2）“田径队”中90分以上的有10×0.008×100=8（人），

“足球队”中90分以上有10×0.006×100=6（人）

所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；

在“足球队”抽取（人）.记作A，B，C.

从中任选2人包含的基本事件有：

ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bC；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，

领队来自不同队伍包含的基本事件aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC；dA，dB，dC共12个，

故领队来自不同队伍的概率为.

21.解：（1）连接与相交于点D，如下图所示

在直棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，

又，，平面，

所以，平面，

又∵平面，∴

∵，∴四边形为菱形，即

又∵，且平面，

∴平面，又∵平面，∴.

（2）取的中点E，连接，CE.如图所示；

∵，，∴

又∵平面，平面，∴，

又∵，且平面，

∴平面，

∴是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.

∵在中，易知，，

∴，∴，

即与平面所成的角的大小为30°.

22.解：（1）设{甲同学答对了i道题}，{乙同学答对了i道题}，，

所以，，，

，，，

所以

解得或（舍），即的值为；

（2）两人共答对两道题的概率

，

即两人共答对两道题的概率为.