广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

河池市2023年春季学期高二年级期末教学质量检测

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

4.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.过点且斜率为3的直线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

2.2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名.现有甲､乙､丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（    ）

A.4种    B.6种    C.8种    D.9种

3.下列说法中正确是（    ）

A.相关系数越大，则两变量的相关性就越强

B.经验回归方程不一定过样本中心点

C.对于经验回归方程，当变量增加1个单位时，平均增加3个单位

D.对于经验回归方程，变量与变量负相关

4.已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知函数，则函数的单调递减区间为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为，以线段为直径的圆在第一象限交双曲线于点，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ）

A.0或2    B.2    C.-2或2    D.-2

8.已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.关于的展开式，下列说法正确的是（    ）

A.各项的系数之和为-1    B.二项式系数的和为512

C.展开式中无常数项    D.第4项的系数最大

11.已知圆，点为圆上一动点，为坐标原点，则下列说法中正确的是（    ）

A.的最大值为

B.的最小值为

C.直线的斜率范围为

D.以线段为直径的圆与圆的公共弦方程为

12.已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点，（为坐标原点），则下列说法中正确的是（    ）

A.

B.准线方程为

C.以线段为直径的圆与的准线相切

D.直线的斜率之积为定值

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列，且，则数列的公差为__________.

14.已知函数，则在点处的切线方程为__________.

15.某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为__________.

16.已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等比数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

生态环境部､工业和信息化部､商务部､海关总署､市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准阶段，禁止生产､进口､销售不符合国六排放标准阶段的汽车.为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：

（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；

（2）以样本的频率为概率.在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率.

附：

参考公式：，其中.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，.点是棱的中点.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成角的大小.

20.（本小题满分12分）

为深人学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展.某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动.这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名.

（1）求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；

（2）设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）求证：.

河池市2023年春季学期高二年级期末教学质量检测•数学

参考答案､提示及评分细则

1.A  根据题意可得直线为，化简得，故选A.

2.C  每人选择的方式有2种，总共有种.故选C.

3.D  相关系数的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，故A错.经验回归方程一定过样本中心点，故B错，根据经验回归方程可知增加1个单位时，平均增加2个单位，故C错，，故D正确.

4.A  ，故选A.

5.C  ，令，解得，故选C.

6.B  ，则渐近线方程为.故选B.

7.C  ，得，当时，，解得或2，故选C.

8.C  ，

令数列是等差数列，前项和最大值为，则，解得.故选C.

9.AC  ，则，则，故选AC.

10.BC

.

令得，故A错误；，故B正确；

当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确；

在中，当时最大，故第5项的系数最大，故D错误.故选BC.

11.AC  ，故A正确；

，故B错误；

设直线，根据题意可得点到直线的距离，解得，故C正确；

以为直径圆的方程，则公共弦方程为，故D错误.故选AC.

12.ACD  ，则，故正确；准线方程为，故错误；对于选项，过点往准线作垂线，垂足为的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，故C正确；对于D选项，设，故D正确.

13.  数列为等差数列，则，公差.

14.  ，则切线方程为.

15.0.7  设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，.

16.  在上有解，经验证：当时，在上确实存在极值点，所以，即实数的取值范围是.

17.解：（1）数列为等比数列，且，

，

，

（2）设，

则

①-②得，

.

18.解：（1）零假设为：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，

由题意，.

所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.

即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；

（2）由样本数据可知，“了解”的概率为，

设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件，则.

19.（1）证明：连接.在菱形中，，所以.

在中，，所以，所以.

在中，，所以，所以.

又平面，所以平面.

又平面，所以；

因为四边形是菱形，所以.又平面，所以平面.又平面，所以

（2）解：记，连接是中点，是中点，

，由（1）知平面平面，以为坐标原点，所

在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则.

所以.

设平面的一个法向量为.

则即令，解得，

所以平面的一个法向量为.

，又平面，

平面的一个法向量为.

所以，即平面与平面所成的角为.

20.解：（1）推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数，

这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，

设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”，

表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，

表示“恰好选出2名数学老师”，

互斥，且，

，

，

选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为；

（2）由于从6名老师中任选3名的结果为

从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人，

恰有名数学老师的概率为，

所以，

.

21.解：（1）由题意可知，所以椭圆的方程为；

（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，

联立方程组整理可得，

由判别式，解得，

设，则，

可得，

所以

（当且仅当时，等号成立），

所以所求直线的方程为或.

22.（1）解：，

，

设

在上为单调递增函数，

，当时，，

当时，时，取得最小值，；

（2）证明：，

只需证，

即，令，则，

当时，令，

则在上单调递增，

即在上为增函数，

又因为，

所以存在，使得，

由，

得，即，即，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，

令，

则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，

所以，

即.