精品解析：河北省保定市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

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2022~2023学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知向量，，若，则λ=（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为，所以，解得.故选：D2. 某圆台上底面和下底面的面积分别为4，9，高为3，则该圆台的体积为（    ）A. 19 B. 19π C. 57 D. 57π【答案】A【解析】【分析】由圆台的体积公式即可求解.【详解】记圆台上底面和下底面的面积分别为，高为，则圆台的体积.故选：A3. 根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为（    ）地区石家庄唐山秦皇岛邯郸邢台保定张家口人口数10640458771798331368799413990711110692426104118908地区承德沧州廊坊衡水定州辛集雄安新区人口数335444473007835464087421293310959865946281205440 A. 1095986 B. 7717983 C. 9242610 D. 9413990【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】这14个地区的数据从小到大排列如下：594628，1095986，1205440，3136879，3354444，4118908，4212933，5464087，7111106，7300783，7717983，9242610，9413990，10640458，因为，所以这14个地区的数据的第85百分位数为为第个数据，即9242610.故选：C4. 已知为平面外一点，则下列判断错误的是（    ）A. 过点只能作一个平面与平行 B. 过点可以作无数条直线与平行C. 过点只能作一个平面与垂直 D. 过点只能作一条直线与垂直【答案】C【解析】【分析】利用空间中线与面的平行关系与垂直关系进行判断即可.详解】过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.故选：C.5. 小方将在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，则他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由古典概型公式计算即可.【详解】小方在下周一到周六任选两天参加社区的羽毛球活动，共有种不同的选择方法，其中两天恰好是相邻的两天的有5种，故他选择的两天恰好是相邻的两天的概率为.故选：B6. 某正三棱柱的侧棱长是，底面边长是，且每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理可求得底面三角形外接圆半径，根据正三棱柱外接球半径可求得外接球半径，代入球的表面积公式即可.【详解】正三棱柱底面边长为，底面三角形外接圆半径，又正三棱柱的侧棱长为，即正三棱柱的高，球的半径，球的表面积.故选：D.7. 明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一．明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东53°48′的492m处，8号门在4号门的东偏北75°48′方向，且1号门在8号门的西偏南63°18′方向，则1号门到8号门的距离约为（参考数据：sin68°≈0.927，sin53°48′≈0.807，sin12°30′≈0.216，sin75°48′≈0.969）（    ）A. 2112m B. 2107m C. 2105m D. 2109m【答案】A【解析】【分析】记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，由题意可得，，再结合正弦定理即可求解.【详解】记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，则根据条件可得，.由正弦定理可得，得.故选：A8. 已知为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 0【答案】B【解析】【分析】根据条件可得为直角三角形且为斜边的中点，用向量的数量积计算可得，再根据二次函数的最值可求的最小值.【详解】因为，所以，所以，即，所以三点共线，又为的外心，所以为直角三角形，且，为斜边的中点，，，过作的垂线，垂足为，如图：则向量在向量上的投影向量为，且，  ，，所以，因为，所以当时取得最小值为.故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，的共轭复数在复平面内对应的点为D，则（    ）A. 点A在第二象限 B. C.  D. 点D的坐标为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求得的坐标即可判断；对于B，求得的坐标，从而可求得即可判断；对于C，分别计算的模即可判断；对于D，先计算，再求得的坐标即可判断.【详解】对于A，，所以点A在第二象限，A对；对于B，，所以，所以，B错；对于C，，，所以，C对；对于D，，所以，D对.故选：ACD10. 一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（    ）A. M与N互斥 B. M与P互斥C. M与N相互独立 D. N与P对立【答案】BC【解析】【分析】利用互斥事件、独立事件与对立事件的定义与概率公式逐一判断即可.【详解】因为“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，所以与可以同时发生，与不能同时发生，所以与不互斥，与互斥，故错误，正确；因为，所以，故C正确；因为与的并事件不是全事件，所以与不对立，故D错误.故选：BC.11. 为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在岁到岁的网民进行问卷调查，按年龄分为组，即，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是（    ）  A. 若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取人做采访，其中年龄在被抽取的人数为，则B. 上述网民的年龄的中位数的估计值为C. 若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取人做采访，其中年龄在被抽取的人数为，则D. 上述网民的年龄的中位数的估计值为【答案】BC【解析】【分析】利用频率和为可构造方程求得的值，根据分层抽样原则可构造方程求得的值，知AC正误；根据中位数的估计方法可知BD正误.【详解】，；对AC，年龄在对应的频率为，，A错误，C正确；对于BD，，，中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，即中位数的估计值为，B正确，D错误.
故选：BC.12. 已知正方体棱长为2，E，F分别是棱，的中点，P为底面ABCD内（包括边界）一动点，则下列结论正确的是（    ）A. 若直线与平面没有公共点，则点P的轨迹长度为B. 若，则点P的轨迹长度为C. 二面角B—EF—D的正切值为D. 过E，F，C的平面截该正方体所得截面为五边形【答案】ACD【解析】【分析】根据空间垂直和平行找到P的轨迹，可得A,B的正误，利用定义求出二面角的正切值可得C的正误，作出截面图可得D的正误.【详解】对于A，连接，在正方体中，由可得四边形为平行四边形，所以；因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因，平面，所以平面平面；因为直线与平面没有公共点，所以点P的轨迹线段，其长度为，A正确.  对于B，取的中点，连接，设交于点，在正方形中，与全等，所以，所以，即；又分别为中点，所以平面，而平面，所以；因为，所以平面.因为，所以点P的轨迹线段，其长度为，B不正确.  对于C，延长，延长交的延长线于，过点作于，连接，由正方体的性质可得平面，平面，所以；因为，，所以平面，所以；所以为二面角的平面角；在直角三角形中，，所以；在直角三角形中，，所以，C正确.  对于D，延长，利用延长线与的交点作出截面图，如图，五边形即为过E，F，C的平面截该正方体所得截面，D正确.      故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 将三组数据绘制成如下的折线图，则这三组数据中，______组数据的方差最小．    【答案】【解析】【分析】根据折线图可计算得到三组数据平均数相同，根据数据波动程度可得到结论.【详解】组数据的平均数均为，组数据相对于平均数的波动程度最小，组数据的方差最小.故答案为：.14. 在菱形中，O为坐标原点，，，且点A在第四象限，则的值为______．【答案】【解析】【分析】先利用两点距离公式求得点坐标，再利用向量的线性运算与数量积运算即可得解.【详解】在菱形中，，，因为，所以，解得，  又点在第四象限，所以，则，所以，，则，故.故答案为：.15. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______．【答案】##【解析】【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果.【详解】设，则，平面，即为与底面所成角，即，，，，，；平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，即，又，顶点的曲率为.故答案：.16. 在中，，D为边上一点，，且，则面积的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由可得，由正弦定理得，从而可得，即，从而可得，再利用基本不等式可得，再结合三角形的面积公式即可求解.【详解】  在中，，且，所以 ，因为，在中，由正弦定理得，，解得所以，所以.因为，即，所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，因为的面积,所以.故答案为：【点睛】关键点睛：由题意求得， ，解题关键要能发现，再利用基本不等式可得，再结合三角形的面积公式即可求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数，．（1）若为纯虚数，求m；（2）若，求的实部与虚部之和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先计算，从而可得，求解即可；（2）由题意可得，解得，从而可计算，进而可求解.【小问1详解】因为，所以，由为纯虚数，得，解得.故.【小问2详解】由（1）可知，由，得，解得.则，所以，所以的实部为1，虚部为5，即实部与虚部之和为.18. 甲、乙两名大学生参加面试时，10位评委评定的分数如下．甲：93，91，80，92，95，89，88，97，95，93．乙：90，92，88，92，90，90，84，96，94，92．（1）若去掉一个最高分和一个最低分后再计算平均分，通过计算比较甲、乙面试分数的平均分的高低．（2）在（1）的前提下，以面试的平均分作为面试的分数，笔试分数和面试分数的加权比为，已知甲、乙的笔试分数分别为92，94，综合笔试和面试的分数，从甲、乙两人中录取一人，你认为应该录取谁？说明你的理由．【答案】（1）甲的面试分数的平均分更高    （2）乙的综合分数更高，故应该录取乙【解析】【分析】（1）利用平均数的计算方法求解比较即可；（2）利用加权平均数的计算方法求解比较即可.【小问1详解】依题意，设甲、乙面试分数的平均分分别为，，，因为，所以甲的面试分数的平均分更高.【小问2详解】因为笔试分数和面试分数的加权比为，所以甲的综合分数为，乙的综合分数为，因为，所以乙的综合分数更高，故应该录取乙.19. 在中，角的对边分别为，且，（1）求角B的大小；（2）若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换与正弦定理的边角变换化简题设条件，从而得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到与，从而求得，由此得解.【小问1详解】因为，所以，即.由正弦定理得，即，即.又，则，所以，则.【小问2详解】由的面积为，得，则，由余弦定理得，代入，得，则，故的周长为.20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，，，，，分别为的中点，  （1）证明：平面ADP，（2）从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，则按第一个计分，①求点到平面的距离，②求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析    （2）①；②【解析】【分析】（1）利用线线平行的传递性证得四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）①②利用等腰梯形与勾股定理求得所需线段长，从而求得所需三角形面积，再利用等体积法即可得解.【小问1详解】如图，取的中点，连接，  因为分别为的中点，且，且，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面.【小问2详解】选①，如图，连接，过点作的垂线，垂足为，因为底面为等腰梯形，，，，，则，，，平面面，，，同理，， ，，所以在中，，又，则，所以，平面点到平面距离等于点到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，解得，所以点到平面的距离为.选②如图，连接，过点作的垂线，垂足为，因为底面为等腰梯形，，，，，则，，，为正三角形，，平面面，，同理，，的面积为，为的中点，点到平面的距离等于点到平面的距离的2倍，设到平面的距离为，则由，得，解得，所以点到平面的距离为，21. 甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，则对抗赛结束．不论谁发球，每个球必有输赢．已知甲发球时甲赢的概率为，乙发球时乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局至多打4个球且甲赢的概率；（2）求该局恰好打6个球结束的概率．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）（2）分析对局情况，再利用独立事件的概率乘法公式求解即可.【小问1详解】该局至多打4个球且甲赢的情况有3种，甲赢前2个球；甲输第1个球再连赢球；甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球；故该局至多打4个球且甲赢的概率为.【小问2详解】若甲胜，则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜，则甲胜的概率，若乙胜，则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负，则乙胜的概率所以该局恰好打6个球结束的概率.22. 如图，在长方体中，点在平面的射影为．  （1）证明：为的垂心．（2）若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理，确定了点的位置，从而利用等体积法求得三棱锥的体积.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又点在平面的射影为，即平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，所以为的垂心.【小问2详解】因为，所以，记的中点为，则也是的中点，，由（1）知，  由（1）知，又在正方形中，，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为平面平面，过作交于，则平面，则平面，因为平面，所以与重合，在四边形中，，因为点在平面的射影为，点在平面的射影为，所以，易知，所以，得，同理得，则，易知平面，所以.【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是确定点在平面的射影的位置，从而得解.