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2023年甘肃省定西市中考数学模拟试卷（二）（含解析）
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这是一份2023年甘肃省定西市中考数学模拟试卷（二）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省定西市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 11 C. 27 D. a3
2. 下列设计图中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(−2,x2+1)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 一元一次不等式组2x+1>0x−5≤0的解集中，整数解的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数−2，−1，0，1，2，则表示数2− 5的点P应落在( )
A. 线段AB上 B. 线段BO上 C. 线段OC上 D. 线段CD上
6. 下列命题是真命题的是( )
A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数
B. 一组数据的众数可以不唯一
C. 已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2
D. 邻边相等的平行四边形是矩形
7. 若单项式2x2ya+b与3xa−by4是同类项，则a，b的值分别是( )
A. a=3，b=1 B. a=−3，b=1
C. a=3，b=−1 D. a=−3，b=−1
8. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5，BC=10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A. 1.8 B. 2.5 C. 3 D. 3.75
9. 如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠AOF等于( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
10. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：
①abc<0；
②c+2a<0；
③9a−3b+c=0；
④a−b≥m(am+b)(m为实数)；
⑤4ac−b2<0．
其中错误结论的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 9−3−1=______．
12. 港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为______．
13. 若m是方程2x2−3x+1=0的一个根，则6m2−9m+2023的值为______ ．
14. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其他完全相同的若干红球和6个白球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则红球的个数约为______ ．
15. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
16. 如图，AB//DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=______．
17. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4 2cm，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
18. 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n=10时，芍药的数量为______ 株.
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
19. 解方程：xx−1−2x=1．
四、解答题（本大题共9小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题4.0分)
化简：(a+3)2−(a+1)(a−1)−2(2a+4)．
21. (本小题6.0分)
如图，CM平分△ABC的外角∠ACE．
(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，交CM于点P(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若∠A=50°，则∠BPC=______．
22. (本小题6.0分)
图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
23. (本小题6.0分)
为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲).比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．
24. (本小题7.0分)
随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式.某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
组别
家庭年旅游消费金额x/元
户数
A
0≤x≤5000
36
B
5000
C
10000
D
15000
E
x>20000
30
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的家庭有______ 户，表中m= ______ ．
(2)本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
(3)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？
(4)若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．
25. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
26. (本小题8.0分)
如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线相交于点F．
(1)若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线．
(2)连接AC，若∠ACE=30°，CD=2 3，求⊙O的半径．
27. (本小题8.0分)
(1)建立模型：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点逆时针旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到BE= ______ ，再证明△AFE≌△ ______ ，可得出线段BE，EF，FD之间的数量关系为______ ．
(2)拓展延伸：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点G，H在边AC上，且∠GBH=45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
28. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC=90°，以A为顶点的抛物线y=x²+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
(3)抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】
解：
A、 12= 22，不是最简二次根式；
B、 11是最简二次根式；
C、 27=3 3，不是最简二次根式；
D、 a3=a a，不是最简二次根式；
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：因为x2≥0，
所以x2+1≥1，
所以点P(−2,x2+1)在第二象限．
故选：B．
根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】C
【解析】解：
∵解不等式2x+1>0得：x>−12，
解不等式x−5≤0得：x≤5，
∴不等式组的解集是−12
故选：C．
先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，解此题的关键是求出不等式组的解集．
5.【答案】B
【解析】解：2< 5<3，
∴−1<2− 5<0，
∴表示数2− 5的点P应落在线段BO上，
故选：B．
根据2< 5<3，得到−1<2− 5<0，根据数轴与实数的关系解答．
本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或者是中间两个数的平均数，故错误；
B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；
C、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，当∠C=90°，则a2+b2=c2，故此选项错误；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：B．
直接利用菱形的判定以及众数的定义和中位数的意义，直角三角形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了中位数以及众数和平均数和菱形的判定，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知：2=a−b，a+b=4，
∴a−b=2a+b=4，
∴解得a=3b=1
∴故选A．
同类项是指相同字母的指数要相等．
本题考查同类项的概念，解题的关键是根据同类项的概念列出关于a、b的方程组，本题属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】解：由折叠的性质得：AD=BD，
设CD=x，则BD=AD=10−x．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：(10−x)2=x2+52，
解得：x=3.75．
∴CD=3.75．
故选：D．
由折叠的性质得出AD=BD，设CD=x，则BD=AD=10−x.在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长．
本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9.【答案】B
【解析】解：连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，
又∵OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC//AB，
∴OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=30°．
故选：B．
根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案．
本题考查的是圆周角定理，平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①由抛物线可知：a>0，c<0，
对称轴x=−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②由对称轴可知：−b2a=−1，
∴b=2a，
∵x=1时，y=a+b+c=0，
∴c+3a=0，
∴c+2a=−3a+2a=−a<0，故②正确；
③(1,0)关于x=−1的对称点为(−3,0)，
∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；
④当x=−1时，y的最小值为a−b+c，
∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
即a−b≤m(am+b)，故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
即b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故⑤正确；
故选：A．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】83
【解析】解： 9−3−1
=3−13
=83
故答案为：83．
首先计算乘方、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12.【答案】5.5×104
【解析】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】2020
【解析】解：∵m是方程2x2−3x+1=0的一个根，
∴2m2−3m+1=0，
∴2m2−3m=−1，
∴6m2−9m+2023=3(2m2−3m)+2023=−1×3+2023=2020，
故答案为：2020．
先根据一元二次方程解的定义得到2m2−3m=−1，再把2m2−3m=−1整体代入所求式子中求解即可．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设红球的个数约为a，
由题意可得：6a+6=20%，
解得，a=24，
经检验，a=24是方程的解，
故答案为：24．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
15.【答案】k≤54且k≠1
【解析】解：根据题意得k−1≠0且△=12−4(k−1)≥0，
解得k≤54且k≠1．
故答案为k≤54且k≠1．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且△=12−4(k−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．
由AB//DE，即可证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【解答】
解：∵AB//DE，∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，
∴ACCE=BCCD，
∵AC=4，BC=2，DC=1，
∴4CE=21，
解得：CE=2．
故答案为：2．
17.【答案】(π+2)
【解析】解：连接OD、AD，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∵BC=4 2，
∴AC=AB=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，BO=DO=2，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=90π×22360+12×2×2=(π+2)cm2．
故答案为：(π+2)．
连接OD、AD，求出圆的半径，求出∠DOA=∠BOD=90°，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可．
本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形DOA的面积和△DOB的面积是解此题的关键．
18.【答案】80
【解析】解：由图可得，
当n=1时，芍药的数量为：4+1×4=8，
当n=2时，芍药的数量为：4+3×4=16，
当n=3时，芍药的数量为：4+5×4=24，
当n=4时，芍药的数量为：4+7×4=32，
…，
故芍药的数量为：4+4(2n−1)=4+8n−4=8n，
∴当n=10时，芍药的数量为：8×10=80，
故答案为：80．
根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=10时的芍药的数量．
本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．
19.【答案】解：去分母得：x2−2x+2=x2−x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，xx−1≠0，
所以x=2是原方程的解．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
20.【答案】解：(a+3)2−(a+1)(a−1)−2(2a+4)
=(a2+6a+9)−(a2−1)−(4a+8)
=a2+6a+9−a2+1−4a−8
=2a+2．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合计算，熟知乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
21.【答案】25°
【解析】解：(1)如图，射线BP即为所求；
(2)∵BP平分∠ABC，CM平分∠ACE，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，
又∵∠PCE=∠PBC+∠BPC，∠ACE=∠ABC+∠A，
∴∠PBC+∠BPC=12∠ABC+12∠A，
又∠PBC=12∠ABC，
∴∠BPC=12∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BPC=25°．
故答案为：25°．
(1)利用尺规作出∠ABC的角平分线即可；
(2)证明∠BPC=12∠A即可．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22.【答案】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB=25cm，DE=50cm，
∴sin37°=GBAB，cos37°=GAAB，
∴GB≈25×0.60=15cm，GA≈25×0.80=20cm，
∴BF=50−15=35cm，
∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，
∴∠GBA=53°，∠CBF=55°，
∴∠BCF=35°，
∵tan35°=BFCF，
∴CF≈350.70=50cm，
∴FE=50+130=180cm，
∴GD=FE=180cm，
∴AD=180−20=160cm，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
23.【答案】(1)13
(2)树状图如图所示：
共有9种可能，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率=69=23．
【解析】
解：(1)因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；
故答案为13．
(2)见答案
【分析】
(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24.【答案】150 24
【解析】解：(1)本次被调查的家庭有：36÷24%=150(户)，m=150−36−27−33−30=24，
故答案为：150，24；
(2)本次调查数据的中位数落在C组，
理由：∵本次抽查了150户，36+27=63，36+27+24=87，
∴本次调查数据的中位数落在C组；
(3)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°×33150=79.2°；
(4)3000×24+33+30150=1740(户)，
答：估计年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．
(1)根据A组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的家庭数，从而可以求得m的值；
(2)根据题目中的数据和中位数的定义，可以得到中位数落在哪一组；
(3)根据统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角的度数；
(4)根据统计图中的数据，可以计算出年旅游消费在10000元以上的家庭数．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)把点A(1,a)代入y=−x+3，
解得a=2，
∴A点坐标为(1,2)
把A(1,2)代入反比例函数y=kx，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)∵一次函数y=−x+3的图象与x轴交于点C，
∴C点坐标为(3,0)，
设P点坐标为(x,0)，
∴PC=|3−x|，
∴S△APC=12×|3−x|×2=5，
∴x=−2或x=8，
∴P的坐标为(−2,0)或(8,0)．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
(1)利用点A在y=−x+3上求a，进而代入反比例函数y=kx(k≠0)求k即可；
(2)设P(x,0)，求得C点的坐标，则PC=|3−x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
26.【答案】(1)证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠AGC=∠FBG，
∴∠OBA+∠FBG=90°，即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)解：如图所示，连接OD，
∵∠ACE=30°，
∴∠AOD=2∠ACE=60°，
∵OA⊥CD,CD=2 3，
∴∠OED=90°,DE=12CD= 3，
∴OD=EDsin∠EOD=2，
∴⊙O的半径为2．
【解析】(1)先根据OA=OB可得∠OAB=∠OBA，再根据OA⊥CD可得∠OAB+∠AGC=90°，从而可得出∠OBA+∠FBG=90°，即∠OBF=90°，然后根据圆的切线的判定即可得证；
(2)如图所示，连接OD，由圆周角定理得到∠AOD=2∠ACE=60°，由垂径定理得到DE= 3，再解直角三角形求出OD=2，则⊙O的半径为2．
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27.【答案】DG AFG EF=BE+FD
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
由旋转的性质可知：DG=BE，∠ADG=∠ABE=90°，AE=AG，∠EAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
∴∠FAG=∠EAF，
∵∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
∴F、D、G三点共线，
又∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+DF．
故答案为：DG；AFG；EF=BE+DF．
(2)GH2=AG2+CH2，证明如下：
如图所示，将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°，
由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠HBM=90°，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，
∵∠HBG=45°，
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=90°−∠HBG=45°，
∴∠HBG=∠MBG，
∵BG=BG，
∴△BGH≌△BGM(SAS)，
∴GH=GM，
∵∠MAG=90°，
∴AM2+AG2=GM2，
∴GH2=AG2+CH2．
(1)先证明F、D、G三点共线，再证明△AFE≌△AFG，得到EF=FG，即可证明EF=BE+DF；
(2)如图所示，将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM，先求出∠BAC=∠C=45°，由旋转的性质可知BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠HBM=90°，则∠MAG=90°，证明△BGH≌△BGM，得到GH=GM，利用勾股定理即可证明GH2=AG2+CH2．
本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线．
28.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，
∴把点C(3,0)，E(0,3)代入y=−x2+bx+c，得：−9+3b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，
设直线AC的解析式为：y=mx+n(m≠0)，
把A(1,4)，C(3,0)代入y=mx+n(m≠0)，得：m+n=43m+n=0，
解得：m=−2n=6，
∴直线AC的解析式为：y=−2x+6，
设点P(1,4−t)，
对于y=−2x+6，当y=4−t时，x=t+22，
∴D(t+22,4−t)，
对于y=−x2+2x+3，当x=t+22时，y=4−t24，
∴Q(t+22,4−t24)，
∴DQ=4−t24−(4−t)=−t24+t，BC=3−1=2，
∴S△ACQ=12⋅BC⋅DQ=12×2(−t24+t)=−t24+t=−14(t−2)2+1，
∵−14<0，
∴S△ACQ有最大值，
当t=2时，最大值为1；
(3)①若EC为平行四边形的对角线时，设点P(1,4−t)，M(x,y)，
又C(3,0)，E(0,3)，
∴EC的中点坐标的横坐标为3+02=32，也是PM中点坐标的横坐标，
∴x+12=32，
∴x=2，
把x=2代入y=−x2+2x+3，得y=3，
∴M(2,3)；
②若EC为边时，将EC向下平移m个单位，再向左平移2个单位到点P，此时点M的坐标为(−2,3−m)，
若点(−2,3−m)在抛物线上时，则有：3−m=−(−2)2+2×(−2)+3=−5，
∴M(−2,−5)；
③若EM为对角线时，点E向下平移n个单位，再向右平移1个单位，则点C也向下平移n个单位，向右平移1个单位，则有M(4,−n)，
∴−n=−42+2×4+3=−5，
∴M(4,−5)．
综上所述，存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(2,3)，(−2,−5)或(4,−5)．
【解析】(1)把点C(3,0)，E(0,3)代入y=−x2+bx+c，求出b，c的值即可；
(2)求出A(1,4)，由题意可知P(1,4−t)，求出直线AC的解析式为y=−2x+6，则可求出D(t+22,4−t)，Q(t+22,4−t24)，由S△ACQ=12⋅BC⋅DQ得出二次函数关系式，由二次函数的性质可得出结论；
(3)分EM为平行四边形的对角线，EC为平行四边形的对角线，EC为边三种情况依据平行四边形的判定方法求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的判定、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
2023年甘肃省定西市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 12 B. 11 C. 27 D. a3
2. 下列设计图中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点P(−2,x2+1)所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 一元一次不等式组2x+1>0x−5≤0的解集中，整数解的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数−2，−1，0，1，2，则表示数2− 5的点P应落在( )
A. 线段AB上 B. 线段BO上 C. 线段OC上 D. 线段CD上
6. 下列命题是真命题的是( )
A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数
B. 一组数据的众数可以不唯一
C. 已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2
D. 邻边相等的平行四边形是矩形
7. 若单项式2x2ya+b与3xa−by4是同类项，则a，b的值分别是( )
A. a=3，b=1 B. a=−3，b=1
C. a=3，b=−1 D. a=−3，b=−1
8. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，两条直角边AC=5，BC=10，将△ABC折叠，使点A和点B重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A. 1.8 B. 2.5 C. 3 D. 3.75
9. 如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠AOF等于( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
10. 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给以下结论：
①abc<0；
②c+2a<0；
③9a−3b+c=0；
④a−b≥m(am+b)(m为实数)；
⑤4ac−b2<0．
其中错误结论的个数有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 9−3−1=______．
12. 港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为______．
13. 若m是方程2x2−3x+1=0的一个根，则6m2−9m+2023的值为______ ．
14. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其他完全相同的若干红球和6个白球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则红球的个数约为______ ．
15. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______．
16. 如图，AB//DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=______．
17. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4 2cm，则图中阴影部分的面积为______ cm2．
18. 在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n=10时，芍药的数量为______ 株.
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
19. 解方程：xx−1−2x=1．
四、解答题（本大题共9小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题4.0分)
化简：(a+3)2−(a+1)(a−1)−2(2a+4)．
21. (本小题6.0分)
如图，CM平分△ABC的外角∠ACE．
(1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BP，交CM于点P(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若∠A=50°，则∠BPC=______．
22. (本小题6.0分)
图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．
23. (本小题6.0分)
为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲).比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．
24. (本小题7.0分)
随着人民生活水平的不断提高，外出旅游已成为家庭生活的一种方式.某社区为了解每户家庭旅游的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
组别
家庭年旅游消费金额x/元
户数
A
0≤x≤5000
36
B
5000
C
10000
D
15000
E
x>20000
30
请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的家庭有______ 户，表中m= ______ ．
(2)本次调查数据的中位数落在哪一组？请说明理由．
(3)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是多少度？
(4)若该社区有3000户家庭，请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数．
25. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
26. (本小题8.0分)
如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线相交于点F．
(1)若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线．
(2)连接AC，若∠ACE=30°，CD=2 3，求⊙O的半径．
27. (本小题8.0分)
(1)建立模型：如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点逆时针旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到BE= ______ ，再证明△AFE≌△ ______ ，可得出线段BE，EF，FD之间的数量关系为______ ．
(2)拓展延伸：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点G，H在边AC上，且∠GBH=45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
28. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC=90°，以A为顶点的抛物线y=x²+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
(3)抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】
解：
A、 12= 22，不是最简二次根式；
B、 11是最简二次根式；
C、 27=3 3，不是最简二次根式；
D、 a3=a a，不是最简二次根式；
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】B
【解析】解：因为x2≥0，
所以x2+1≥1，
所以点P(−2,x2+1)在第二象限．
故选：B．
根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.【答案】C
【解析】解：
∵解不等式2x+1>0得：x>−12，
解不等式x−5≤0得：x≤5，
∴不等式组的解集是−12
故选：C．
先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，解此题的关键是求出不等式组的解集．
5.【答案】B
【解析】解：2< 5<3，
∴−1<2− 5<0，
∴表示数2− 5的点P应落在线段BO上，
故选：B．
根据2< 5<3，得到−1<2− 5<0，根据数轴与实数的关系解答．
本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或者是中间两个数的平均数，故错误；
B、一组数据的众数可以不唯一，故正确；
C、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，当∠C=90°，则a2+b2=c2，故此选项错误；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：B．
直接利用菱形的判定以及众数的定义和中位数的意义，直角三角形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了中位数以及众数和平均数和菱形的判定，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知：2=a−b，a+b=4，
∴a−b=2a+b=4，
∴解得a=3b=1
∴故选A．
同类项是指相同字母的指数要相等．
本题考查同类项的概念，解题的关键是根据同类项的概念列出关于a、b的方程组，本题属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】解：由折叠的性质得：AD=BD，
设CD=x，则BD=AD=10−x．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：(10−x)2=x2+52，
解得：x=3.75．
∴CD=3.75．
故选：D．
由折叠的性质得出AD=BD，设CD=x，则BD=AD=10−x.在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长．
本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9.【答案】B
【解析】解：连接OB，如图所示，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，
又∵OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC//AB，
∴OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=30°．
故选：B．
根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案．
本题考查的是圆周角定理，平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①由抛物线可知：a>0，c<0，
对称轴x=−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②由对称轴可知：−b2a=−1，
∴b=2a，
∵x=1时，y=a+b+c=0，
∴c+3a=0，
∴c+2a=−3a+2a=−a<0，故②正确；
③(1,0)关于x=−1的对称点为(−3,0)，
∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；
④当x=−1时，y的最小值为a−b+c，
∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
即a−b≤m(am+b)，故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
即b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故⑤正确；
故选：A．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】83
【解析】解： 9−3−1
=3−13
=83
故答案为：83．
首先计算乘方、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
12.【答案】5.5×104
【解析】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】2020
【解析】解：∵m是方程2x2−3x+1=0的一个根，
∴2m2−3m+1=0，
∴2m2−3m=−1，
∴6m2−9m+2023=3(2m2−3m)+2023=−1×3+2023=2020，
故答案为：2020．
先根据一元二次方程解的定义得到2m2−3m=−1，再把2m2−3m=−1整体代入所求式子中求解即可．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设红球的个数约为a，
由题意可得：6a+6=20%，
解得，a=24，
经检验，a=24是方程的解，
故答案为：24．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
15.【答案】k≤54且k≠1
【解析】解：根据题意得k−1≠0且△=12−4(k−1)≥0，
解得k≤54且k≠1．
故答案为k≤54且k≠1．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且△=12−4(k−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．
由AB//DE，即可证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【解答】
解：∵AB//DE，∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，
∴ACCE=BCCD，
∵AC=4，BC=2，DC=1，
∴4CE=21，
解得：CE=2．
故答案为：2．
17.【答案】(π+2)
【解析】解：连接OD、AD，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∵BC=4 2，
∴AC=AB=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，BO=DO=2，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=90π×22360+12×2×2=(π+2)cm2．
故答案为：(π+2)．
连接OD、AD，求出圆的半径，求出∠DOA=∠BOD=90°，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可．
本题考查了扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能求出扇形DOA的面积和△DOB的面积是解此题的关键．
18.【答案】80
【解析】解：由图可得，
当n=1时，芍药的数量为：4+1×4=8，
当n=2时，芍药的数量为：4+3×4=16，
当n=3时，芍药的数量为：4+5×4=24，
当n=4时，芍药的数量为：4+7×4=32，
…，
故芍药的数量为：4+4(2n−1)=4+8n−4=8n，
∴当n=10时，芍药的数量为：8×10=80，
故答案为：80．
根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=10时的芍药的数量．
本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律．
19.【答案】解：去分母得：x2−2x+2=x2−x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，xx−1≠0，
所以x=2是原方程的解．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
20.【答案】解：(a+3)2−(a+1)(a−1)−2(2a+4)
=(a2+6a+9)−(a2−1)−(4a+8)
=a2+6a+9−a2+1−4a−8
=2a+2．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合计算，熟知乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
21.【答案】25°
【解析】解：(1)如图，射线BP即为所求；
(2)∵BP平分∠ABC，CM平分∠ACE，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，
又∵∠PCE=∠PBC+∠BPC，∠ACE=∠ABC+∠A，
∴∠PBC+∠BPC=12∠ABC+12∠A，
又∠PBC=12∠ABC，
∴∠BPC=12∠A，
∵∠A=50°，
∴∠BPC=25°．
故答案为：25°．
(1)利用尺规作出∠ABC的角平分线即可；
(2)证明∠BPC=12∠A即可．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22.【答案】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB=25cm，DE=50cm，
∴sin37°=GBAB，cos37°=GAAB，
∴GB≈25×0.60=15cm，GA≈25×0.80=20cm，
∴BF=50−15=35cm，
∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，
∴∠GBA=53°，∠CBF=55°，
∴∠BCF=35°，
∵tan35°=BFCF，
∴CF≈350.70=50cm，
∴FE=50+130=180cm，
∴GD=FE=180cm，
∴AD=180−20=160cm，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
23.【答案】(1)13
(2)树状图如图所示：
共有9种可能，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率=69=23．
【解析】
解：(1)因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；
故答案为13．
(2)见答案
【分析】
(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24.【答案】150 24
【解析】解：(1)本次被调查的家庭有：36÷24%=150(户)，m=150−36−27−33−30=24，
故答案为：150，24；
(2)本次调查数据的中位数落在C组，
理由：∵本次抽查了150户，36+27=63，36+27+24=87，
∴本次调查数据的中位数落在C组；
(3)在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角是：360°×33150=79.2°；
(4)3000×24+33+30150=1740(户)，
答：估计年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户．
(1)根据A组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的家庭数，从而可以求得m的值；
(2)根据题目中的数据和中位数的定义，可以得到中位数落在哪一组；
(3)根据统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角的度数；
(4)根据统计图中的数据，可以计算出年旅游消费在10000元以上的家庭数．
本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)把点A(1,a)代入y=−x+3，
解得a=2，
∴A点坐标为(1,2)
把A(1,2)代入反比例函数y=kx，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)∵一次函数y=−x+3的图象与x轴交于点C，
∴C点坐标为(3,0)，
设P点坐标为(x,0)，
∴PC=|3−x|，
∴S△APC=12×|3−x|×2=5，
∴x=−2或x=8，
∴P的坐标为(−2,0)或(8,0)．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
(1)利用点A在y=−x+3上求a，进而代入反比例函数y=kx(k≠0)求k即可；
(2)设P(x,0)，求得C点的坐标，则PC=|3−x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
26.【答案】(1)证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°，
又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC，
∴∠AGC=∠FBG，
∴∠OBA+∠FBG=90°，即∠OBF=90°，
∴OB⊥FB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
(2)解：如图所示，连接OD，
∵∠ACE=30°，
∴∠AOD=2∠ACE=60°，
∵OA⊥CD,CD=2 3，
∴∠OED=90°,DE=12CD= 3，
∴OD=EDsin∠EOD=2，
∴⊙O的半径为2．
【解析】(1)先根据OA=OB可得∠OAB=∠OBA，再根据OA⊥CD可得∠OAB+∠AGC=90°，从而可得出∠OBA+∠FBG=90°，即∠OBF=90°，然后根据圆的切线的判定即可得证；
(2)如图所示，连接OD，由圆周角定理得到∠AOD=2∠ACE=60°，由垂径定理得到DE= 3，再解直角三角形求出OD=2，则⊙O的半径为2．
本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27.【答案】DG AFG EF=BE+FD
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
由旋转的性质可知：DG=BE，∠ADG=∠ABE=90°，AE=AG，∠EAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=45°，
∴∠FAG=∠EAF，
∵∠ADF+∠ADG=90°+90°=180°，
∴F、D、G三点共线，
又∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+DF．
故答案为：DG；AFG；EF=BE+DF．
(2)GH2=AG2+CH2，证明如下：
如图所示，将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°，
由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠HBM=90°，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，
∵∠HBG=45°，
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=90°−∠HBG=45°，
∴∠HBG=∠MBG，
∵BG=BG，
∴△BGH≌△BGM(SAS)，
∴GH=GM，
∵∠MAG=90°，
∴AM2+AG2=GM2，
∴GH2=AG2+CH2．
(1)先证明F、D、G三点共线，再证明△AFE≌△AFG，得到EF=FG，即可证明EF=BE+DF；
(2)如图所示，将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM，先求出∠BAC=∠C=45°，由旋转的性质可知BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠HBM=90°，则∠MAG=90°，证明△BGH≌△BGM，得到GH=GM，利用勾股定理即可证明GH2=AG2+CH2．
本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线．
28.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，
∴把点C(3,0)，E(0,3)代入y=−x2+bx+c，得：−9+3b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，
设直线AC的解析式为：y=mx+n(m≠0)，
把A(1,4)，C(3,0)代入y=mx+n(m≠0)，得：m+n=43m+n=0，
解得：m=−2n=6，
∴直线AC的解析式为：y=−2x+6，
设点P(1,4−t)，
对于y=−2x+6，当y=4−t时，x=t+22，
∴D(t+22,4−t)，
对于y=−x2+2x+3，当x=t+22时，y=4−t24，
∴Q(t+22,4−t24)，
∴DQ=4−t24−(4−t)=−t24+t，BC=3−1=2，
∴S△ACQ=12⋅BC⋅DQ=12×2(−t24+t)=−t24+t=−14(t−2)2+1，
∵−14<0，
∴S△ACQ有最大值，
当t=2时，最大值为1；
(3)①若EC为平行四边形的对角线时，设点P(1,4−t)，M(x,y)，
又C(3,0)，E(0,3)，
∴EC的中点坐标的横坐标为3+02=32，也是PM中点坐标的横坐标，
∴x+12=32，
∴x=2，
把x=2代入y=−x2+2x+3，得y=3，
∴M(2,3)；
②若EC为边时，将EC向下平移m个单位，再向左平移2个单位到点P，此时点M的坐标为(−2,3−m)，
若点(−2,3−m)在抛物线上时，则有：3−m=−(−2)2+2×(−2)+3=−5，
∴M(−2,−5)；
③若EM为对角线时，点E向下平移n个单位，再向右平移1个单位，则点C也向下平移n个单位，向右平移1个单位，则有M(4,−n)，
∴−n=−42+2×4+3=−5，
∴M(4,−5)．
综上所述，存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(2,3)，(−2,−5)或(4,−5)．
【解析】(1)把点C(3,0)，E(0,3)代入y=−x2+bx+c，求出b，c的值即可；
(2)求出A(1,4)，由题意可知P(1,4−t)，求出直线AC的解析式为y=−2x+6，则可求出D(t+22,4−t)，Q(t+22,4−t24)，由S△ACQ=12⋅BC⋅DQ得出二次函数关系式，由二次函数的性质可得出结论；
(3)分EM为平行四边形的对角线，EC为平行四边形的对角线，EC为边三种情况依据平行四边形的判定方法求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的判定、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
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