2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市部分学校联合体高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设i为虚数单位，复数z满足iz=1+2i，则z在复平面内对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列四个函数，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是(    )
A. y=|sinx| B. y=cosx C. y=tanx D. y=cos2x
3. 已知向量a=(−2,32)，2a+3b=(5,−3)，则b=(    )
A. (−3,2) B. (3,−2) C. (3,0) D. (9,6)
4. 在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=2π3，若将△ABC绕BC所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为(    )
A. 36π B. 28π C. 20π D. 12π
5. 为了得到函数y=2sin(2x+π4)的图象，只要把函数y=2sin(2x−π6)上所有的点(    )
A. 向左平移5π12 B. 向左平移5π24 C. 向右平移5π12 D. 向右平移5π24
6. 某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(    )

A. 频率分布直方图中a的值为0.004
B. 估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C. 估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150
7. 若e1，e2是两个单位向量，且e1在e2上的投影向量为13e2，则a=e1−3e2与b=e1+3e2的夹角的余弦值为(    )
A. −112 B. 112 C. − 63 D. 63
8. 在平面凸四边形ABCD中，AB=BC，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积的最大值为(    )
A. 3 2+52 B. 3 2+72 C. 3 3+74 D. 3 3+134
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在某次测量中得到A样本数据如下：52，54，54，55，56，55，56，55，55，56，若B样本数据恰好是A样本数据加5后所得数据，则下列数字特征中，A，B两样本相同的是(    )
A. 众数 B. 极差 C. 中位数 D. 标准差
10. 若复数z满足2z+z−=3−2i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(    )
A. z−z−为纯虚数 B. |z+z−|=2 C. z⋅z−=−3 D. z−z=−35+45i
11. 定义两个非零平面向量a，b的一种新运算：a*b=|a|⋅|b|sin〈a,b〉，其中〈a,b〉表示向量a，b的夹角，则对于非零平面向量a，b，则下列结论一定成立的是(    )
A. (a+b)*(a+b)=a*a+2a*b+b*b
B. (a*b)2+(a⋅b)2=|a|2⋅|b|2
C. a*b=0，则a//b
D. λ(a*b)=(λa)*b
12. 如图，一张矩形白纸ABCD，AB=2，AD=2 2，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点N.现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE的同侧，则下列命题正确的是(    )
A. 当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE
B. 当A，C重合于点P时，PD⊥平面PFM
C. 当A，C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为6π
D. 当A，C重合于点P时，四棱锥P−BFDE的体积为2 23
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 2023年6月4日清晨，在金色朝霞映衬下，神舟十五号载人飞船返回舱在胡杨大漠凯旋，神舟十五号航天员安全返回地球.某高中为了解学生对这一重大新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取15人，高二抽取12人，已知高三年级共有学生900人，则该高中所有学生总数为______ 人.
14. 在正方形ABCD中，已知AB=(1,1)，BC=(x,y)，则x2+2y2的值为______ ．
15. 如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为______ ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为______ ．
16. 已知函数f(x)=|sinωx2|+|cosωx2|(ω>0)在区间(π3,3π4)上单调递增，则ω的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
设向量a=(sinωx,− 3)，b=(1,cosωx)，(ω>0)，函数f(x)=a⋅b，x∈R的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)用五点法画出y=f(x)在一个周期内的图像．
18. (本小题12.0分)
如图，矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面，点E在圆O上(异于A，B)，F为DE的中点．
(1)证明：BE⊥平面DAE；
(2)若直线DE与平面ABE所成的角为45°时，证明：平面ABF⊥平面BDE．

19. (本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3a−csinB= 3bcosC．
(1)求角B的大小；
(2)若sinαsin(α+B)=1120，且α∈(0,π4)，求cos2α的值．
20. (本小题12.0分)
某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得100位居民某年的月平均用水量(单位：t)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万居民，请估计全市居民中月平均用水量不低于3t的人数；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过xt，估计x的值，并说明理由．
21. (本小题12.0分)
如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，侧面C1CBB1为正方形，平面A1ACC1⊥平面ABC.点M为A1C的中点，N为AB的中点，异面直线AC与BB1所成的角为60°．
(1)证明：MN//平面C1CBB1；
(2)求四棱锥M−BB1C1C的体积．

22. (本小题12.0分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=6且2c−b=12cosB．
(1)证明：B+C=2A；
(2)若O为△ABC的垂心，AO的延长线交BC于点D，且OB⋅OD=3，求△ABC的周长．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由iz=1+2i，得z=1+2ii=i+2i2i2=i−2−1=2−i，
所以复数z在复平面内对应的点(2,−1)在第四象限．
故选：D．
先求出复数z，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：由于函数的最小正周期为π，故排除B，
由于函数在区间(π2,π)上单调递减，故排除CD，
只有选项A中函数y=|sinx|符合π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减，故A正确；
故选：A．
直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：设b=(x,y)，向量a=(−2,32)，2a+3b=(5,−3)即(−4+3x,3+3y)=(5,−3)，
∴−4+3x=53+3y=−3，解得x=3y=−2，
则b=(3,−2)．
故选：B．
利用平面向量的坐标表示计算即可．
本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．

4.【答案】D 
【解析】解：如图所示，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以OA=4×sinπ3=2 3，OB=4×cosπ3=2；
所以旋转体的体积为：V=13×π×(2 3)2×[(3+1)−1]=12π．
故选：D．
由题意知旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，利用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即可．
本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：设函数y=2sin(2x−π6)平移m个单位得到y=2sin(2x+π4)，
可得y=2sin[2(x+m)−π6]=2sin(2x+2m−π6)，即2m−π6=π4，解得m=5π24，
根据平移规律只要把函数y=2sin(2x−π6)上所有的点向左平移5π24，
即y=2sin[2(x+5π24)−π6]=2sin(2x+π4)．
故选：B．
先假设将函数y=2sin(2x−π6)平移m个单位得到y=2sin(2x+π4)，根据图像平移变换规律，y=2sin[2(x+m)−π6]与y=2sin(2x+π4)对应系数相等得出m的值即可得出结果．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】D 
【解析】解：由频率分布直方图，得：
10(2a+3a+7a+6a+2a)=1，解得a=0.005，故A错误；
前三个矩形的面积和为10(2a+3a+7a)=0.6，
∴这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80，故B错误；
这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；
总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a×10×1000=150，故D正确．
故选：D．
根据所有矩形的面积和为1，求出a，由此利用频率分布直方图能求出结果．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：因为e1，e2是两个单位向量，且e1在e2上的投影向量为13e2，
所以e1⋅e2=13，
所以|a|= e12−6e1⋅e2+9e22= 1−6×13+9=2 2，
|b|= e12+6e1⋅e2+9e22= 1+6×13+9=2 3，
a⋅b=(e1−3e2)⋅(e1+3e2)=e12−(3e2)2=−8，
所以cos〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−82 2×2 3=− 63，
即a,b的夹角的余弦值为− 63．
故选：C．
由已知可知e1⋅e2=13，先求出|a|,|b|,a⋅b，然后利用夹角公式求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

8.【答案】A 
【解析】解：连接AC，

设∠D=θ，则0