2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省成都市城厢中学高一（下）期中数学试卷
1. 已知a=(3,2)，b=(0,−1)，则a+3b=(    )
A. (3,−1) B. (3,5) C. (9,3) D. (−3,2)
2. 已知i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，则实数x的值为(    )
A. 2 B. −2 C. ±2 D. 4
3. sin20°cos10°+cos20°sin10°=(    )
A. 12 B. 32 C. −12 D. − 32
4. 已知为非零向量，则“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为AB的中点，则EF⋅AD=(    )
A. 2
B. 2
C. − 2
D. −2
6. 已知函数f(x)=2sinx，为了得到函数g(x)=2sin(2x−π3)的图象，只需(    )
A. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位
B. 先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的12,再向右平移π6个单位
C. 先将函数f(x)图象向右平移π6个单位,再将点的横坐标变为原来的12
D. 先将函数f(x)图象向右平移π3个单位,再将点的横坐标变为原来的2倍
7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a= 2,b= 3,B=60°，则A=(    )
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 60°或120°
8. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”.秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q(B,Q,D三点共线)处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为(    )

A. 75m B. 50 2m C. 25 6m D. 80m
9. 下列说法中错误的是(    )
A. 单位向量都相等
B. 向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C. 若a为非零向量，则a|a|表示为与a同方向的单位向量
D. 若a//b，b//c，则a//c
10. 将函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列说法不正确的是(    )
A. 函数g(x)的最小正周期为4π
B. 函数g(x)的单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3](k∈Z)
C. 直线x=2π3是函数g(x)图象的一条对称轴
D. 函数g(x)图象的一个对称中心为点(2π3,0)
11. 已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则(    )
A. (a+b)⊥a
B. 与向量a共线的单位向量是(2 55, 55)
C. |a+2b|=5
D. 向量a在向量b上的投影向量是− 102b
12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(    )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A+sin2B−34；
②若非零向量(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形；
③若单位向量e1，e2的夹角为60°，则当|2e1+te2|(t∈R)取最小值时，t=1；
④已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈(0,+∞)，则动点P一定通过△ABC的重心；
⑤如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sin2A−sin2C)=( 2a−b)sinB，则△ABC的面积的最大值为 2+12R2．
其中正确的序号为______ ．
17. 已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°求：
(1)a⋅b；
(2)(a−2b)⋅(a+b).
18. 已知复数z=−m2+m+2+(m2+m)i(m∈R)．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
19. 已知函数f(x)=sin2x− 3(cos2x−sin2x)．
(1)求f(π6)；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间．
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2 2，b=5，c= 13．
(1)求角C的大小;
(2)求sinA的值;
(3)求sin(2A+π4)的值．

22. 已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+ 3sinxcosx．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A2)=1，a=2，求b+c的最大值．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵a=(3,2)，b=(0,−1)，
a+3b=(3,2)+3(0,−1)=(3,−1)．
故选：A．
根据向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：∵i是虚数单位，复数z=(x2−4)+(x+2)i是纯虚数，
∴x2−4=0x+2≠0，∴x=2，
故选：A．
由题意，利用纯虚数的定义，求得实数x的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12，
故选：A．
由条件利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．

4.【答案】A 
【解析】解：对于“a与b的夹角为锐角”则“a⋅b>0”，当“a⋅b>0”时，“a与b的夹角为锐角或方向相同”，
故“a与b的夹角为锐角”是“a⋅b>0”的充分不必要条件，
故选：A．
直接利用平面向量的数量积的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：∵EF=BF−BE=−12AB−12AD，
∴EF⋅AD=(−12AB−12AD)⋅AD=−12AB⋅AD−12AD2=0−2=−2．
故选：D．
先将EF用AB、AD表示，再根据数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．
【解答】
解：将f(x)=2sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到的函数解析式为：y=2sin2x；
所有的点向右平移π6个单位长度，再把所得得到的函数解析式为：g(x)=2sin(2x−π3).
故选：B．
  
7.【答案】C 
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=absinB= 2 3× 32= 22，
因为a