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2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
2. 已知i为虚数单位，复数z满足|z+2i|=|z|，则z的虚部为( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
3. 不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出α//β的是( )
A. α∩γ=n，β∩γ=m，n//m B. α⊥γ，β⊥γ
C. n//m，n⊥α，m⊥β D. n//α，m//β，n//m
4. 某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：
则下列结论错误的是( )
A. 2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变
B. 2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍
C. 2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多
D. 2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少
5. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. 20km B. 20 2km C. 20 3km D. 15 5km
6. 已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，以过SO的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4 2π B. 8 2π C. 8π D. 16π
7. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为( )
A. 23 B. 53 C. 32 D. 22
8. 在△ABC中，已知(AB|AB|+AC|AC|)⋅(AB-AC)=0，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
9. 某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是( )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
10. 下列说法正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面
B. 若直线a在平面α外，则a与α无公共点
C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台
D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形
11. 下列命题为真命题的是( )
A. 复数-2-i的虚部为-1
B. 在复平面内，复数-2-i的共轭复数对应的点在第四象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则(1+i1-i)4n=1
D. 复数z是方程x2+4x+5=0的一个根，则|z|= 5
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A. c=acosB+bcosA
B. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形
C. 若a2tanB=b2tanA，则a=b
D. 若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态).图(1)中水面的高度3，现将容器放倒(如图(2)，一个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点分别为E，F，F1，E1，则AE：EB= ______ ．
14. 已知向量a=-2,3，b=0,4，则a在b上的投影向量坐标为___________．
15. 欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，|exi|= ______ ，exi+e-xi= ______ ．
16. 已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足∠ACB=90°，AC=4，BC=2 5，则球心O到平面ABC的距离为______ ，三棱锥P-ABC体积的最大值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知向量a=(6,1)，b=(-2,3)，c=(2,2)，d=(-3,k)．
(1)求a+2b-c；
(2)若(a+2c)//(c+kb)，求实数k的值．
(3)若a与d的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw⋅h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
(3)从用电量落在区间[300,400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350,400)内的概率．
19. 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)=0，f(3)=1．
(1)解不等式0
20. 在四棱锥P-ABCD中，点E为PA中点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°．
(1)求证：PD⊥AB；
(2)求BE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)若CD//AB，求四棱锥P-ABCD的体积．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1，c=a+2．
(Ⅰ)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；
(Ⅱ)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
22. 如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，点P为底面圆周上异于A，B的点．
(1)求证：PB⊥平面PAD；
(2)若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q为线段DP上靠近点D的三等分点，是否存在一点P使得直线AQ与平面BDP所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P的位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，
样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．
故选：C．
根据样本点的定义求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
|z+2i|=|z|，
则|a+(b+2)i|=|a+bi|，即 a2+(b+2)2= a2+b2，
故4b+4=0，解得b=-1，
故z的虚部为-1．
故选：A．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面平行的判断所应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答】
解：由不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，知：
若α∩γ=n，β∩γ=m，n//m，则α与β相交或平行，故A不正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B不正确；
若n//m，n⊥α，m⊥β，则由平面平行的判定定理知α//β，故C正确；
若n//α，m//β，n//m，则α与β相交或平行，故D不正确．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了扇形图的相关知识，属于基础题．
根据题意设2020年总收入为a，则2021年总收入为2a，依次计算可解．
【解答】
解：根据题意设2020年总收入为a，则2021年总收入为2a，
对于A：2020年甲系列收入为40%a=0.4a，2021年甲系列收入为20%⋅2a=0.4a，故A正确；
对于B：2020年丁系列收入为15%a=0.15a，2021年丁系列收入为30%⋅2a=0.6a，故B正确；
对于C：2021年丙和丁系列收入之和为(25%+30%)⋅2a=1.1a，2020年总收入为a，故C正确；
对于D：2020年的乙和丙系列产品收入之和为(20%+10%)⋅a=0.3a，2021年的乙和丙系列产品收入之和为(20%+25%)⋅2a=0.9a，显然，0.9a>0.3×2，故D错误．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，AC=BC=20，∠ACB=120°，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB
=400+400-2×20×20×(-12)=1200，
∴AB=20 3，
即灯塔A与灯塔B的距离为20 3km．
故选：C．
先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，
圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即12SA⋅SB=12SA2=4，解得SA=2 2；
所以AO=SA⋅sin45°=2 2× 22=2；
所以该圆锥的侧面展开图的面积为12⋅2π⋅AO⋅SA=12×2π×2×2 2=4 2π.
故选：A．
根据圆锥的轴截面面积求出底面圆的半径和母线长，再计算侧面展开图的面积．
本题考查了圆锥轴截面与侧面展开图的面积计算问题，是基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
由已知证明CD⊥平面PAD，连接ED，可得∠CED为CE与底面PAD所成角，设PA=AB=AD=2a，然后求解三角形可得直线CE与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】
解：如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
则平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与底面PAD所成角，
设PA=AB=AD=2a，则AE=a，ED= 5a，
EC= ED2+CD2= 5a2+4a2=3a．
∴sin∠CED=CDCE=2a3a=23，
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为23．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：因为(AB|AB|+AC|AC|)⋅(AB-AC)=0，
所以(AB|AB|+AC|AC|)⋅CB=0，
即|AB||CB|cosB|AB|+|AC||CB|(-cosC)|AC|=|CB|(cosB-cosC)=0，
所以cosB=cosC，所以B=C，
所以△ABC一定是等腰三角形．
故选：B．
由题意结合向量的运算法则将已知等式化简，可得B=C，从而可得结论．
本题主要考查三角形形状的判断，考查向量的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若原始评分为1，2，3，4，5，6，7，则7个原始评分的极差为7-1=6，
5个有效评分的极差为6-2=4，故极差可能不同，故选项A正确；
7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，
5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，
故中位数一定相同，故选项B错误；
若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，
则7个原始评分的平均数为1+1+1+1+1+1+87=2，
5个有效评分的平均数为1+1+1+1+15=1，
故平均数可能不同，故选项C正确；
若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，
则7个原始评分的方差为12+12+12+12+12+12+627=6，
5个有效评分的方差为0，故方差可能不同，故选项D正确；
故选：ACD．
对于选项A，举例原始评分为1，2，3，4，5，6，7可判断；
对于选项B，7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，从而判断；
对于选项C，举例原始评分为1，1，1，1，1，1，8可判断；
对于选项D，举例原始评分为1，1，1，1，1，1，8可判断．
本题考查了样本数字特征的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：三个共线的点不可以确定一个平面，A错误；
若直线a在平面α外，则a//α或a与α相交，当a与α相交有一个公共点，B错误；
用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，C正确；
斜棱柱的侧面可以是矩形，D错误．
故选：C．
由平面的基本性质、棱柱、棱锥的概念依次判断即可．
本题考查平面的基本性质，棱柱、棱锥的几何特征，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：复数-2-i的虚部为-1，故A正确；
在复平面内，复数-2-i的共轭复数对应的点(-2,1)在第二象限，故B错误；
1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=i，
故(1+i1-i)4n=(i4)n=1n=1，故C正确；
复数z是方程x2+4x+5=0的一个根，
则z⋅z-=|z|2=5，解得|z|= 5(负值舍去)，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查推理和归纳的能力，属于中档题．
由正弦定理以及三角恒等变换即可判断A；由正弦定理可将条件转换即可判断B；由正弦定理化简后可判断C；由a3+b3=c3变形后可判断D．
【解答】
解：对A：∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，∴c=acosB+bcosA，所以A正确；
对B：∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵△ABC的内角A，B，C，∴2A=2B或2A+2B=π即A=B或A+B=π2，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对C：∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：sin2AtanB=sin2BtanA，得：sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA，
整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=π2，故C错误；
对D：由题意知：a、b、c中c是最大的正数，∴由a3+b3=c3变形得：(ac)3+(bc)3=1<(ac)2+(bc)2，∴a2+b2>c2，∴C为锐角，又知C为最大角，∴△ABC为锐角三角形，故D正确．
故选：AD．
13.【答案】1：1
【解析】解：设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S，梯形BCFE的面积为S'，
则根据等体积可得S×3=S'×4，所以S'S=34，所以S△AEFS=14，
又因为EF//BC，
所以△AEF相似于△ABC，且AE：AB=1：2，所以AE：EB=1：1，
故答案为：1：1．
根据三棱柱的体积公式求解．
本题考查了三棱柱的体积公式，属于中档题．
14.【答案】(0,3)
【解析】
【分析】
本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
【解答】
解：向量a=(-2,3)，b=(0,4)，
∴a在b上的投影向量的坐标为：a⋅b|b|⋅b|b|=124⋅b4=(0,3)．
故答案为：(0,3)．
15.【答案】1 2cosx
【解析】解：∵exi=cosx+isinx，
∴|exi|=|cosx+isinx|= cos2x+sin2x=1；
exi+e-xi=cosx+isinx+cosx-isinx=2cosx．
故答案为：1；2cosx．
由定义结合复数模的计算公式求|exi|；再由已知定义求得exi+e-xi．
本题考查复数的指数形式，考查复数模的求法，是基础题．
16.【答案】4 12 5
【解析】解：如图，
在Rt△ACB中，由∠ACB=90°，AC=4，BC=2 5，得AB= 42+(2 5)2=6，
设△ACB外接圆的半径为r，则r=3，设球心为O，三角形ACB外接圆的圆心为O1，
由球的性质可得，OO1⊥平面ACB，在Rt△OO1A中，可得OO1= 52-32=4．
即球心O到平面ABC的距离为4；
要使三棱锥P-ABC体积取最大值，则P为O1O与球面的交点，
此时P到底面ACB的距离为9，则三棱锥P-ABC体积的最大值为13×(12×4×2 5)×9=12 5．
故答案为：4；12 5．
由题意画出图形，求得三角形ACB外接圆的半径，再由勾股定理求球心O到平面ABC的距离；求得P到平面ABC的距离的最大值，再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC体积的最大值．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)∵a=(6,1)，b=(-2,3)，c=(2,2)，
∴a+2b-c=(6,1)+(-4,6)-(2,2)=(0,5)．
(2)∵a+2c=(10,5)，c+kb=(2-2k,2+3k)，
又∵(a+2c)//(c+kb)，
∴10(2+3k)-5(2-2k)=0，解得k=-14．
(3)∵a与d的夹角是钝角，
∴cos=a⋅d|a|⋅|d|<0，且cos≠-1，
∴a⋅d=6×(-3)+k<0，且-36≠k1，解得k<18且k≠-12，
故实数k的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,18)．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量坐标运算法则，即可求解．
(2)根据已知条件，结合平行向量的性质，即可求解．
(3)根据已知条件，结合平面向量数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由(0.0004+0.0008+2x+0.0036+0.0044+0.006)×50=1，得x=0.0024，
(2)平均值(0.0024×75+0.0036×125+0.006×175+0.0044×225+0.0024×275+0.0008×325+0.0004×375)×50=187，
∵用电量落在区间[50,200)的频率之和为(0.0024+0.0036+0.006)×50=0.6，
∴中位数落在区[150,200)，设中位数为a，则0.0024×50+0.0036×50+0.006×(a-150)=0.5，解得a=183.3．
(3)易知用电量落在区间[300,350)的用户有4户，用电量落在区间[350,400)用户有2户，记事件E=“至少有1户落在区间[350,400)内”．
∴从A1，A2，A3，A4，B1，B2中这6个元素中任取2个元素共C62=15个基本事件，事件E共9个基本事件，
∴P(E)=915=35，即至少有1户落在区间[350,400)内的概率为 35．
【解析】(1)由频率直方图，结合各组的频率之和为1，即可求x；
(2)由频率直方图求电量的平均值即可，再由图知中位数落在[50,200)上，根据中位数的性质求中位数；
(3)由题意，抽取100户中[300,350)，[350,400)各有4户、2户，列举法写出所有这6户中任取2户的可能组合、及至少有1户落在区间[350,400)内的组合，应用古典概型的概率求法求概率即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数，且f(1)=0，f(3)=1，
所以x2-1>01
(2)因为函数f(x)在(0,3]上是增函数，
所以f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1，
所以不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3]，a∈[-1,1]恒成立，
所以1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立，
即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立．
设g(a)=-2ma+m2，a∈[-1,1]，
所以需满足g(-1)≥0g(1)≥0，即2m+m2≥0-2m+m2≥0，
解得m≤-2或m≥2或m=0，
所以实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)．
【解析】(1)利用函数的单调性求解；
(2)将不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3]，a∈[-1,1]恒成立，转化为m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立求解．
本题考查了利用单调性解不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
20.【答案】(1)证明：取AB中点F，连接FD，FP，
因为PA=PB，AB=AD，∠DAB=60°，
所以AB=AD=BD，
所以AB⊥PF，AB⊥FD，
所以AB⊥面PFD，
因为PD⊂面PFD，
所以AB⊥PD；
解：(2)因为BE⊥PD，AB⊥PD，AB∩BE=B，
所以PD⊥面PAB，
因为PB⊂面PAB，PA⊂面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，
又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA，
所以PD=PB=PA= 2,BE= 102，
VE-ABD=13SABDhE-ABD=VD-ABE=13S△ABEhD-ABE，
所以hE-ABD= 66，
设BE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ=hE-ABDBE= 1515；
(3)VP-ABCD=13SABCD⋅hP-ABCD=13SABCD⋅2hE-ABD=13×12×(2+4)× 3×2× 66= 2．
【解析】(1)先利用线面垂直判定定理证明AB⊥面PFD，进而即可证明PD⊥AB；
(2)先求得E点到底面ABCD的距离，进而求得BE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)利用锥体体积公式即可求得四棱锥P-ABCD的体积．
本题考查了空间中的垂直关系，直线与平面所成的角以及锥体体积的计算，属于中档题．
21.【答案】解：(I)∵2sinC=3sinA，
∴根据正弦定理可得2c=3a，
∵b=a+1，c=a+2，
∴a=4，b=5，c=6，
在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=42+52-622×4×5=18，
∵sin2C+cos2C=1，
∴sinC= 1-cos2C= 1-(18)2=3 78，
∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3 78=15 74．
(II)∵c>b>a，
∴△ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，
cosC=a2+b2-c22ab=a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)<0，
∴a2-2a-3<0，
∵a>0，
∴0
∴a+b>c，即a+a+1>a+2，即a>1，
∴1
∴a=2．
【解析】(I)根据已知条件，以及正弦定理，可得a=4，b=5，c=6，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，(II)由c>b>a，可推得△ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，运用余弦定理可推得a2-2a-3<0，再结合a>0，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
22.【答案】解：(1)证明：∵AB是圆O的直径，点P是圆周上一点，
∴∠APB=90°，即PB⊥PA．
又在圆柱OO1中，母线AD⊥底面圆O，PB⊂底面圆O，
∴AD⊥PB，又PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD；
(2)设圆柱底面半径为r，母线长为l，则2πrl=2ππr2l=π，解得r=1l=1．
在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，
由(1)知，PB⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴PB⊥AM，
又DP∩PB=P，∴AM⊥平面BDP．
若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角．
若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成角为90°，
若直线AQ与平面BDP所成角为90°，则AQ⊥DP，
在Rt△ADP中，由AD2=DQ⋅DP=13DP2，可得DP= 3．
因此AP= DP2-AD2= 2．
此时△AOP为直角三角形，∴点P为两个半圆弧AB中点．
因此，当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．
【解析】(1)由题意，APB=90°，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；
(2)由已知求得圆柱底面半径与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由(1)知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP.若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90°，求得点P为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中直线与平面所成角的最值的求法，是中档题．
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
2. 已知i为虚数单位，复数z满足|z+2i|=|z|，则z的虚部为( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
3. 不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出α//β的是( )
A. α∩γ=n，β∩γ=m，n//m B. α⊥γ，β⊥γ
C. n//m，n⊥α，m⊥β D. n//α，m//β，n//m
4. 某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：
则下列结论错误的是( )
A. 2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变
B. 2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍
C. 2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多
D. 2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少
5. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于20km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. 20km B. 20 2km C. 20 3km D. 15 5km
6. 已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，以过SO的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4 2π B. 8 2π C. 8π D. 16π
7. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为( )
A. 23 B. 53 C. 32 D. 22
8. 在△ABC中，已知(AB|AB|+AC|AC|)⋅(AB-AC)=0，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
9. 某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是( )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
10. 下列说法正确的是( )
A. 三个点可以确定一个平面
B. 若直线a在平面α外，则a与α无公共点
C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台
D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形
11. 下列命题为真命题的是( )
A. 复数-2-i的虚部为-1
B. 在复平面内，复数-2-i的共轭复数对应的点在第四象限
C. 若i为虚数单位，n为正整数，则(1+i1-i)4n=1
D. 复数z是方程x2+4x+5=0的一个根，则|z|= 5
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是( )
A. c=acosB+bcosA
B. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形
C. 若a2tanB=b2tanA，则a=b
D. 若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态).图(1)中水面的高度3，现将容器放倒(如图(2)，一个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点分别为E，F，F1，E1，则AE：EB= ______ ．
14. 已知向量a=-2,3，b=0,4，则a在b上的投影向量坐标为___________．
15. 欧拉公式exi=cosx+isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，|exi|= ______ ，exi+e-xi= ______ ．
16. 已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足∠ACB=90°，AC=4，BC=2 5，则球心O到平面ABC的距离为______ ，三棱锥P-ABC体积的最大值为______ ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知向量a=(6,1)，b=(-2,3)，c=(2,2)，d=(-3,k)．
(1)求a+2b-c；
(2)若(a+2c)//(c+kb)，求实数k的值．
(3)若a与d的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50～400kw⋅h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)估计该小区居民用电量的平均值和中位数；
(3)从用电量落在区间[300,400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350,400)内的概率．
19. 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)=0，f(3)=1．
(1)解不等式0
20. 在四棱锥P-ABCD中，点E为PA中点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°．
(1)求证：PD⊥AB；
(2)求BE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)若CD//AB，求四棱锥P-ABCD的体积．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1，c=a+2．
(Ⅰ)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积；
(Ⅱ)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
22. 如图，四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，点P为底面圆周上异于A，B的点．
(1)求证：PB⊥平面PAD；
(2)若圆柱的侧面积为2π，体积为π，点Q为线段DP上靠近点D的三等分点，是否存在一点P使得直线AQ与平面BDP所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点P的位置；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，
样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．
故选：C．
根据样本点的定义求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
|z+2i|=|z|，
则|a+(b+2)i|=|a+bi|，即 a2+(b+2)2= a2+b2，
故4b+4=0，解得b=-1，
故z的虚部为-1．
故选：A．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面平行的判断所应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
利用平面平行的判定定理，对四个选项分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答】
解：由不同的直线m和n，不同的平面α，β，γ，知：
若α∩γ=n，β∩γ=m，n//m，则α与β相交或平行，故A不正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B不正确；
若n//m，n⊥α，m⊥β，则由平面平行的判定定理知α//β，故C正确；
若n//α，m//β，n//m，则α与β相交或平行，故D不正确．
故选C．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了扇形图的相关知识，属于基础题．
根据题意设2020年总收入为a，则2021年总收入为2a，依次计算可解．
【解答】
解：根据题意设2020年总收入为a，则2021年总收入为2a，
对于A：2020年甲系列收入为40%a=0.4a，2021年甲系列收入为20%⋅2a=0.4a，故A正确；
对于B：2020年丁系列收入为15%a=0.15a，2021年丁系列收入为30%⋅2a=0.6a，故B正确；
对于C：2021年丙和丁系列收入之和为(25%+30%)⋅2a=1.1a，2020年总收入为a，故C正确；
对于D：2020年的乙和丙系列产品收入之和为(20%+10%)⋅a=0.3a，2021年的乙和丙系列产品收入之和为(20%+25%)⋅2a=0.9a，显然，0.9a>0.3×2，故D错误．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得，AC=BC=20，∠ACB=120°，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cos∠ACB
=400+400-2×20×20×(-12)=1200，
∴AB=20 3，
即灯塔A与灯塔B的距离为20 3km．
故选：C．
先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示，
圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即12SA⋅SB=12SA2=4，解得SA=2 2；
所以AO=SA⋅sin45°=2 2× 22=2；
所以该圆锥的侧面展开图的面积为12⋅2π⋅AO⋅SA=12×2π×2×2 2=4 2π.
故选：A．
根据圆锥的轴截面面积求出底面圆的半径和母线长，再计算侧面展开图的面积．
本题考查了圆锥轴截面与侧面展开图的面积计算问题，是基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
由已知证明CD⊥平面PAD，连接ED，可得∠CED为CE与底面PAD所成角，设PA=AB=AD=2a，然后求解三角形可得直线CE与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】
解：如图，侧棱PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
则平面PAD⊥平面ABCD，
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
而平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，
则∠CED为CE与底面PAD所成角，
设PA=AB=AD=2a，则AE=a，ED= 5a，
EC= ED2+CD2= 5a2+4a2=3a．
∴sin∠CED=CDCE=2a3a=23，
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为23．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：因为(AB|AB|+AC|AC|)⋅(AB-AC)=0，
所以(AB|AB|+AC|AC|)⋅CB=0，
即|AB||CB|cosB|AB|+|AC||CB|(-cosC)|AC|=|CB|(cosB-cosC)=0，
所以cosB=cosC，所以B=C，
所以△ABC一定是等腰三角形．
故选：B．
由题意结合向量的运算法则将已知等式化简，可得B=C，从而可得结论．
本题主要考查三角形形状的判断，考查向量的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若原始评分为1，2，3，4，5，6，7，则7个原始评分的极差为7-1=6，
5个有效评分的极差为6-2=4，故极差可能不同，故选项A正确；
7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，
5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，
故中位数一定相同，故选项B错误；
若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，
则7个原始评分的平均数为1+1+1+1+1+1+87=2，
5个有效评分的平均数为1+1+1+1+15=1，
故平均数可能不同，故选项C正确；
若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，
则7个原始评分的方差为12+12+12+12+12+12+627=6，
5个有效评分的方差为0，故方差可能不同，故选项D正确；
故选：ACD．
对于选项A，举例原始评分为1，2，3，4，5，6，7可判断；
对于选项B，7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，从而判断；
对于选项C，举例原始评分为1，1，1，1，1，1，8可判断；
对于选项D，举例原始评分为1，1，1，1，1，1，8可判断．
本题考查了样本数字特征的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：三个共线的点不可以确定一个平面，A错误；
若直线a在平面α外，则a//α或a与α相交，当a与α相交有一个公共点，B错误；
用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，C正确；
斜棱柱的侧面可以是矩形，D错误．
故选：C．
由平面的基本性质、棱柱、棱锥的概念依次判断即可．
本题考查平面的基本性质，棱柱、棱锥的几何特征，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：复数-2-i的虚部为-1，故A正确；
在复平面内，复数-2-i的共轭复数对应的点(-2,1)在第二象限，故B错误；
1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=i，
故(1+i1-i)4n=(i4)n=1n=1，故C正确；
复数z是方程x2+4x+5=0的一个根，
则z⋅z-=|z|2=5，解得|z|= 5(负值舍去)，故D正确．
故选：ACD．
根据已知条件，结合虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查虚部的定义，复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理的运用，解三角形问题，三角函数基本性质．考查推理和归纳的能力，属于中档题．
由正弦定理以及三角恒等变换即可判断A；由正弦定理可将条件转换即可判断B；由正弦定理化简后可判断C；由a3+b3=c3变形后可判断D．
【解答】
解：对A：∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，∴c=acosB+bcosA，所以A正确；
对B：∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵△ABC的内角A，B，C，∴2A=2B或2A+2B=π即A=B或A+B=π2，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对C：∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：sin2AtanB=sin2BtanA，得：sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA，
整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=π2，故C错误；
对D：由题意知：a、b、c中c是最大的正数，∴由a3+b3=c3变形得：(ac)3+(bc)3=1<(ac)2+(bc)2，∴a2+b2>c2，∴C为锐角，又知C为最大角，∴△ABC为锐角三角形，故D正确．
故选：AD．
13.【答案】1：1
【解析】解：设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S，梯形BCFE的面积为S'，
则根据等体积可得S×3=S'×4，所以S'S=34，所以S△AEFS=14，
又因为EF//BC，
所以△AEF相似于△ABC，且AE：AB=1：2，所以AE：EB=1：1，
故答案为：1：1．
根据三棱柱的体积公式求解．
本题考查了三棱柱的体积公式，属于中档题．
14.【答案】(0,3)
【解析】
【分析】
本题考查了投影和投影向量的定义及求法，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．
【解答】
解：向量a=(-2,3)，b=(0,4)，
∴a在b上的投影向量的坐标为：a⋅b|b|⋅b|b|=124⋅b4=(0,3)．
故答案为：(0,3)．
15.【答案】1 2cosx
【解析】解：∵exi=cosx+isinx，
∴|exi|=|cosx+isinx|= cos2x+sin2x=1；
exi+e-xi=cosx+isinx+cosx-isinx=2cosx．
故答案为：1；2cosx．
由定义结合复数模的计算公式求|exi|；再由已知定义求得exi+e-xi．
本题考查复数的指数形式，考查复数模的求法，是基础题．
16.【答案】4 12 5
【解析】解：如图，
在Rt△ACB中，由∠ACB=90°，AC=4，BC=2 5，得AB= 42+(2 5)2=6，
设△ACB外接圆的半径为r，则r=3，设球心为O，三角形ACB外接圆的圆心为O1，
由球的性质可得，OO1⊥平面ACB，在Rt△OO1A中，可得OO1= 52-32=4．
即球心O到平面ABC的距离为4；
要使三棱锥P-ABC体积取最大值，则P为O1O与球面的交点，
此时P到底面ACB的距离为9，则三棱锥P-ABC体积的最大值为13×(12×4×2 5)×9=12 5．
故答案为：4；12 5．
由题意画出图形，求得三角形ACB外接圆的半径，再由勾股定理求球心O到平面ABC的距离；求得P到平面ABC的距离的最大值，再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABC体积的最大值．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)∵a=(6,1)，b=(-2,3)，c=(2,2)，
∴a+2b-c=(6,1)+(-4,6)-(2,2)=(0,5)．
(2)∵a+2c=(10,5)，c+kb=(2-2k,2+3k)，
又∵(a+2c)//(c+kb)，
∴10(2+3k)-5(2-2k)=0，解得k=-14．
(3)∵a与d的夹角是钝角，
∴cos
∴a⋅d=6×(-3)+k<0，且-36≠k1，解得k<18且k≠-12，
故实数k的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,18)．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量坐标运算法则，即可求解．
(2)根据已知条件，结合平行向量的性质，即可求解．
(3)根据已知条件，结合平面向量数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由(0.0004+0.0008+2x+0.0036+0.0044+0.006)×50=1，得x=0.0024，
(2)平均值(0.0024×75+0.0036×125+0.006×175+0.0044×225+0.0024×275+0.0008×325+0.0004×375)×50=187，
∵用电量落在区间[50,200)的频率之和为(0.0024+0.0036+0.006)×50=0.6，
∴中位数落在区[150,200)，设中位数为a，则0.0024×50+0.0036×50+0.006×(a-150)=0.5，解得a=183.3．
(3)易知用电量落在区间[300,350)的用户有4户，用电量落在区间[350,400)用户有2户，记事件E=“至少有1户落在区间[350,400)内”．
∴从A1，A2，A3，A4，B1，B2中这6个元素中任取2个元素共C62=15个基本事件，事件E共9个基本事件，
∴P(E)=915=35，即至少有1户落在区间[350,400)内的概率为 35．
【解析】(1)由频率直方图，结合各组的频率之和为1，即可求x；
(2)由频率直方图求电量的平均值即可，再由图知中位数落在[50,200)上，根据中位数的性质求中位数；
(3)由题意，抽取100户中[300,350)，[350,400)各有4户、2户，列举法写出所有这6户中任取2户的可能组合、及至少有1户落在区间[350,400)内的组合，应用古典概型的概率求法求概率即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)是增函数，且f(1)=0，f(3)=1，
所以x2-1>01
(2)因为函数f(x)在(0,3]上是增函数，
所以f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1，
所以不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3]，a∈[-1,1]恒成立，
所以1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立，
即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立．
设g(a)=-2ma+m2，a∈[-1,1]，
所以需满足g(-1)≥0g(1)≥0，即2m+m2≥0-2m+m2≥0，
解得m≤-2或m≥2或m=0，
所以实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)．
【解析】(1)利用函数的单调性求解；
(2)将不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3]，a∈[-1,1]恒成立，转化为m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立求解．
本题考查了利用单调性解不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
20.【答案】(1)证明：取AB中点F，连接FD，FP，
因为PA=PB，AB=AD，∠DAB=60°，
所以AB=AD=BD，
所以AB⊥PF，AB⊥FD，
所以AB⊥面PFD，
因为PD⊂面PFD，
所以AB⊥PD；
解：(2)因为BE⊥PD，AB⊥PD，AB∩BE=B，
所以PD⊥面PAB，
因为PB⊂面PAB，PA⊂面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，
又AB=AD=BD=2，PD=PB=PA，
所以PD=PB=PA= 2,BE= 102，
VE-ABD=13SABDhE-ABD=VD-ABE=13S△ABEhD-ABE，
所以hE-ABD= 66，
设BE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ=hE-ABDBE= 1515；
(3)VP-ABCD=13SABCD⋅hP-ABCD=13SABCD⋅2hE-ABD=13×12×(2+4)× 3×2× 66= 2．
【解析】(1)先利用线面垂直判定定理证明AB⊥面PFD，进而即可证明PD⊥AB；
(2)先求得E点到底面ABCD的距离，进而求得BE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)利用锥体体积公式即可求得四棱锥P-ABCD的体积．
本题考查了空间中的垂直关系，直线与平面所成的角以及锥体体积的计算，属于中档题．
21.【答案】解：(I)∵2sinC=3sinA，
∴根据正弦定理可得2c=3a，
∵b=a+1，c=a+2，
∴a=4，b=5，c=6，
在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=42+52-622×4×5=18，
∵sin2C+cos2C=1，
∴sinC= 1-cos2C= 1-(18)2=3 78，
∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3 78=15 74．
(II)∵c>b>a，
∴△ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，
cosC=a2+b2-c22ab=a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)<0，
∴a2-2a-3<0，
∵a>0，
∴0
∴a+b>c，即a+a+1>a+2，即a>1，
∴1
∴a=2．
【解析】(I)根据已知条件，以及正弦定理，可得a=4，b=5，c=6，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，(II)由c>b>a，可推得△ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，运用余弦定理可推得a2-2a-3<0，再结合a>0，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
22.【答案】解：(1)证明：∵AB是圆O的直径，点P是圆周上一点，
∴∠APB=90°，即PB⊥PA．
又在圆柱OO1中，母线AD⊥底面圆O，PB⊂底面圆O，
∴AD⊥PB，又PA∩AD=A，
∴PB⊥平面PAD；
(2)设圆柱底面半径为r，母线长为l，则2πrl=2ππr2l=π，解得r=1l=1．
在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，
由(1)知，PB⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴PB⊥AM，
又DP∩PB=P，∴AM⊥平面BDP．
若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角．
若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成角为90°，
若直线AQ与平面BDP所成角为90°，则AQ⊥DP，
在Rt△ADP中，由AD2=DQ⋅DP=13DP2，可得DP= 3．
因此AP= DP2-AD2= 2．
此时△AOP为直角三角形，∴点P为两个半圆弧AB中点．
因此，当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．
【解析】(1)由题意，APB=90°，即PB⊥PA，再由母线AD⊥底面圆O，得AD⊥PB，由直线与平面垂直的判定可得PB⊥平面PAD；
(2)由已知求得圆柱底面半径与母线长，在△PAD中，过A作AM⊥DP交DP于M，由(1)知PB⊥平面PAD，可得PB⊥AM，进一步得到AM⊥平面BDP.若M不与Q重合，∠AQM即为直线AQ与平面BDP所成角；若M与Q重合，且直线AQ与平面BDP所成角为90°，求得点P为两个半圆弧AB中点．由此可得当点P为两个半圆弧AB中点时，直线AQ与平面BDP所成角最大为90°，正弦值最大为1．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间中直线与平面所成角的最值的求法，是中档题．
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